سلام. وقت بخیر.
تا حالا سوال به این شکل ندیده بودم. میتونیم بگیم ۲۰ مهره رو به ترتیب بیرون میکشیم و احتمال اینکه دومی و هشتمی سفید باشن رو حساب میکنیم. یعنی رشته های به طول ۲۰ مدنظرمونه که دومین و هشتنمین کاراکترش سفید باشن. جواب میشه تعداد این رشته ها تقسیم بر کل حالات. برای محاسبه حالات مطلوب، کافیه تو دوتا جایگاه مشخص، مهره سفید قرار بدیم و بقیه رشته رو بچینیم. جواب میشه:

[tex]\frac{18!}{8!7!3!}/\frac{20!}{8!7!5!}=\frac{5\times 4}{20\times 19}=\frac{1}{19}[/tex]

(۲۹ آذر ۱۳۹۵ ۰۹:۱۷ ب.ظ)d_felfelak نوشته شده توسط:  تست این آزمون مدرسان رو متوجه نمیشم
صورت تست: ظرفی محتوای ۲۰ مهره میباشد، که ۵ مهره آن سفید، ۷ مهره ی آن سیاه و ۸ مهره ی آن قرمز است. اگر ۸ مهره به تصادف و بدون جایگذاری از این ظرف خارج کنیم، احتمال آن که مهره های دوم و هشتم انتخابی سفید باشد، کدام است؟
۱)۵/۱۹* ۴/۸
۲) ۵/۱۹* ۴/۱۲
۳)۵/۱۹
۴)۱/۱۹

این مسأله یک مدل آوند پولیا است که انتخاب مهر ههای دیگر رنگش مهم نیست:

(مهره ی هشتم سفید * مهره ی دوم سفید)

۱/۱۹= ۵/۲۰*۴/۱۹


میشه حالتهای مختلف رو در نظر گرفت و حل کرد اما خب خیلی طولانی میشه من این راه حل رو اصلا متوجه نمیشم. همینطور راه حل کوتاهی رو براش سراغ ندارم

سؤال جالبیه. علاوه بر روش جالب آقای جویباری، از یک منظر دیگه هم میشه به مسأله نگاه کرد.
حتماً می‌دونید که برای مثال وقتی ما ۱ مهره‌ی سفید و ۲ مهریه‌ی سیاه داریم، وقتی یک مهره رو به طور تصادفی انتخاب کنیم و بندازیم دور (بدون اینکه بدونیم چی بوده)، سری بعدی هم مثلاً احتمال انتخاب مهره‌ی سفید برابر با [tex]\frac{1}{3}[/tex] و مهره‌ی سیاه برابر با [tex]\frac{2}{3}[/tex] خواهد بود. اثباتش رو شاید دیده باشید که میشه به صورت عمومی اثبات کرد ولی مثلاً در این مثال اینطوری در نظر بگیرید که اون مهره‌ی دور انداخته شده به احتمال [tex]\frac{1}{3}[/tex] سفید بوده و به احتمال [tex]\frac{2}{3}[/tex] سیاه بوده. پس امیدریاضی یا همون تعداد مهره‌های سفیدی که مونده برابر با [tex]1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex] و تعداد مهره‌های سیاه برابر با [tex]2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}[/tex] هست. یعنی ۲ تا سیاه داشتیم که [tex]\frac{2}{3}[/tex] رو انداختیم دور. حالا از بین مهره‌های باقی‌مونده، احتمال سفید بودن میشه تعداد سفید‌ها تقسیم بر کل مهره‌ها که برابر هست با [tex]\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}=\frac{2}{2+4}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}​{3}[/tex]. کسر رو عمداً مستقیم جوابش رو ننوشتم و به صورت [tex]\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}[/tex] ساده کردم اول که متوجه بشید دقیقاً مثل حالتی میشه که هیچ مهره‌ای دور نینداخته شده. ضمناً به جای اینکه مجموع مهره‌ها رو به صورت [tex]\frac{2}{3}+\frac{4}{3}[/tex] بنویسیم میشد به صورت [tex]3-1[/tex] هم نوشت چون ۳ تا بوده اول که در این مرحله ۲ تاش مونده منتهی باز اونطوری نوشتم که ببینید موقع ساده‌شدن مثل همون حالتِ دور انداخته نشده میشه. این مرحله رو اگه ادامه بدید، یعنی با [tex]\frac{2}{3}[/tex] سفید و [tex]\frac{4}{3}[/tex] سیاه ادامه بدید باز آخرش کسر همون میشه و احتمال تغییری نمیکنه.

حالا برگردیم به مسأله. ما عملاً از مهره‌ی اول خبر نداریم. یعنی ممکنه سفید بوده باشه (که در این صورت احتمال سفید بودن دومی کمتر از [tex]\frac{5}{20}[/tex] خواهد بود یعنی [tex]\frac{4}{19}[/tex]) یا نبوده باشه (که در این صورت احتمال سفید بودن دومی بیشتر خواهد بود، یعنی [tex]\frac{5}{19}[/tex]). اما چون نمیدونیم چی بوده، به نسبتِ تعداد هر مهره، ازشون کم شده (مثل سفید و سیاهِ بالا). در نتیجه در انتخاب دوم احتمال سفید همون [tex]\frac{5}{20}[/tex] خواهد بود یعنی انگار هیچ اتفاقی قبلش نیفتاده (میتونید امتحان کنید مثل بالا، آسونه). برای انتخاب مهره‌ی هشتم اما میدونیم که یک مهره از سفیدها رو قبلا دور انداختیم ولی از بقیه‌ی انتخاب‌ها خبری نداریم. پس مثل این میمونه که بعد از مهره‌ی دوم که دیدیم سفید بوده، با ۴ سفید و ۷ سیاه و ۸ قرمز ادامه دادیم و هی دور انداختیم تا رسیدیم به هشتم. منتهی باز چون نمیدونستیم چی شده، احتمال سفید بودن مهره‌ی هشتم میشه [tex]\frac{4}{19}[/tex]. در واقع تا زمانی که شما خبری از مهره‌های دور انداخته شده نداشته باشید همین [tex]\frac{4}{19}[/tex] خواهد بود تا مهره‌ی آخر که دور انداخته بشه اونم [tex]\frac{4}{19}[/tex] سفید خواهد بود.