سلام.این سوال مشابه توزیع اشیای یکسان در ظرف های متفاوته.تو اینجا چون چک ها ۱۰۰ دلاری هستن پس ب طور کلی توزیع ۱۰ شی یکسان در ۴ ظرفه مورد الف ک هیچ محدودیتی نداریم انتخاب ۳ از ۱-۴+۱۰ است (همون فرمول انتخاب k-1 از n+k-1)ک میشه ۲۸۶
قسمت ب) به هر نفر باید حداقل یک چک برسه پس ۴ تا از ۱۰ تا برمیداریم میشه ۶ و مثل بالا حل میشه (انتخاب ۳ از ۱-۴+۶) جواب ۸۴
قسمت ج)در این قسمت باز چون گفته هر کی حداقل ۱۰۰ تا بگیره ۴ تا از ۱۰ تا برمیداریم میمونه ۶ تا و آخری چون باید حداقل ۵۰۰ باشه ۴ تا چک دیگه هم بهش میدیم میمونه ۲ تا چک که باید بین ۴ نفر تقسیم شه میشه انتخاب ۳ از ۱-۴+۲ ک میشه ۱۰/

قسمت الف از مدل زیر تبعیت می کند :
$X_1 X_2 X_3 X_4=10$ که هر متغیر می تواند صفر باشد.

$\binom{4 10-1}{10}$

قسمت ب به این صورت است که ابتدا به هر معاول ۱۰۰ دلار می دهیم و در کل ۶۰۰ دلار باقی می ماند که آن را با مدل زیر تقسیم می کنیم :
$X_1 X_2 X_3 X_4=6$ که در آن هر متغیر می تواند صفر باشد.

$\binom{4 6-1}{6}$

قسمت ج به این صورت است که ابتدا به سه معاون مرتبه پایین تر هر یک ۱۰۰ دلار می دهیم و به معاون برتر ۵۰۰ دلار که در کل از آن ۲۰۰ دلار می ماند و مساله زیر را حل می کنیم :
$X_1 X_2 X_3 X_4=2$ که در آن هر متغیر می تواند صفر باشد.

$\binom{4 2-1}{2}$

امید وارم مفید باشند