سلام دوست عزیز این قواعد مربوط به عبارت های منظم هست که در کتاب سودکمپ گفته شده ، ببخش سعی دارم خیلی خودمونی جواب بدم :

شما فرض کن [tex]u=a ,,,v=b[/tex] حالا در عبارتهای ذکر شده قرار دهید :

اگه [tex]u=a[/tex] آنگاه ، [tex](a^{*})^{*}=a^{*}[/tex] حال اگه دقت کنیم داریم [tex]a^{*}=\left \{ \lambda ,a,aa,aaa,aaaa,... \right \}[/tex] که رشته هایی با ترکیب متوالی [tex]a[/tex] رو به ما میده اونم بدلیل علامت * در بالای [tex]a[/tex] حالا شما تمام مجموعه [tex]a^{*}[/tex] رو با هم ترکیب کن (چون علامت * بالاشه) ببین چیزی به مجموعه اضافه نمیشه لذا این دو عبارت یکسانند

سلام روزه نمازتون قبول

با این حساب برای عبات دوم هم داریم:هر ترکیبی که میتونی با استفاده از uوv بساز و آخر هر کدوم از این ترکیب ها یکی از اعضای u رو بچسبان::هرکدوم از این ترکیب ها چون با الحاق uبه vساخته شدن وبعدش یه عضو از u بهش چسبیده پس میتونیم اینبار اول هر ترکیبی با vوu (توجه:اول v و بعد u)بسازیم و سپس یه عضو از u رو به ابتدای اعضای جدید بچسبانیم.

در عبارت آخر داریم

[tex](u\cup v)^{*}=(u^{*}\cup v)^{*}[/tex]

خوب این عبارت میگه از u یا v هر عبارتی که میتونی بساز.یعنی اعضای u و v رو بریز توی یک سبد و حالا هر ترکیبی که دوست داری ازشون ساز(ببخشید اگه ساده میگم فقط قصدم تفهیم خودمه)
بخش دومش میگه هر ترکیبی از u رو بعلاوه اعضا v بریز تو سبد و هر ترکیبی ازشون بساز

خوب چون امکان ساخت هر ترکیبی توی هر دو سبد بود پس اینکه اول u رو استار کنیم تاثیری نداره د نتیجه.

حالا سوال من اینه ایا این نتیجه رو هم میتونیم بگیریم؟

[tex](u\cup v)^{*}=(u^{*}\cup v)^{*}=(u^{*}\cup v^{*})^{*}[/tex]

[tex](a b)^{*}[/tex] شامل تمام رشته ها با ترکیب [tex]a,b[/tex] و بعلاوه [tex]\lambda[/tex] میباشد و عبارت [tex](a^{*} b^{*})^{*}[/tex] نیز همین ترکیبات را دارد .

همشون منظم هستن.
اولی می تونه شامل هیچ یا n تا u باشه: یعنی w=u^n و n >=0 که راحت میشه براش یه ماشین DFA رسم کرد که یه loop (حلقه) روی u داشته باشه
پس چون میتونیم براش DFA رسم کنیم منظم هست
======
دومی هم منظم هست و میشه براش ماشین DFA رسم کرد که یا u هستن یا اول و آخرشون u هست و وسطشون vuv تکرار میشه(اینم میشه loop گذاشت و DFA رسم کرد براش.پس منظم هست.
======
آخری هم میگه هر ترکیبی از u و v و حتی تهی. که اینم میشه دو تا loop گذاشت،یکی برای u یکی برای v و هر دو رو روی همون وضعیت start بازتابی می دیم. پس چون برای اینم میشه DFA رسم کرد میشه منظم
(همچنین u و v رو به عنوان دوتا کاراکتر در نظر بگیرید و با variable یا nonTermeninal های بخش گرامر اشتباه نگیرید)
==
شکل هم خواستی بگو رسم کنم