(۰۷ دى ۱۳۹۵ ۰۲:۰۲ ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط:  سلام. وقت بخیر.
گفته شده $P(0)$ درسته و دو تا شرط برای درست بودن بقیه جملات گفته.
از شرطهای گفته شده میشه نوشت $P(-4n)$ به ازای nهای صحیح و نامنفی درسته. پس $P(2)$ و $P(-2)$ درست نیست. پس عبارت اول و سوم نادرست هستن.
اگه $P(2)$ درست باشه نمیتونیم درستی جمله $P(6)$ رو اثبات کنیم. فقط از همون شرطها استفاده کنید. پس عبارت دوم هم نادرسته.
ولی اگه $P(10)$ درست باشه، جملات $P(-4n+10)$ درست خواهند بود و میشه درستی تمام جملات زوج منفی رو نتیجه گرفت.
فقط عبارت D صحیحه.

در تکمیل/تفهیم پست آقای جویباری عرض کنم که (چون یه بار خوندم متوجه نشدم) چون $P(0)$ درست هست و $P(n-4)$ هم درست هست، پس میشه ۴تا ۴تا کم کرد و گفت که $P(-4)$ و $P(-8)$ و ... یعنی P$P(-4K)$ درست هست. با شروع از $P(10)$ هم میشه دوباره ۴ تا ۴ تا کم کرد و تمام جملات درست هستند. پس $P(6)$ و $P(2)$ و $P(-2)$ و $P(-6)$ یعنی تمامی $P(-4K+2)$ها درست هستند. از اونجایی که اعداد زوج منفی، یا به صورت $-4K$ هستند یا به صورت $-4K+2$ و نشون دادیم که P به ازای هر دوی اینا درسته، پس کلا برای اعداد منفی درسته.

درست بودن $P(2)$ باعث میشه که تمامی $P(2^K)$ ها درست باشند. علاوه بر این، میشه دوباره ۴تا ۴تا از تمامی این جملاتِ درست کم کرد و اونا هم درست باشند. یعنی $P(2^k-4m)$ درست هستند. ولی این اعداد، فقط مضارب ۴ هستند (به ازای k بزرگتر از ۱ میشه نسبت به ۴ فاکتورِ مشترک گرفت) و شاملِ ۴K+2 نمیشن. پس فقط نصف اعدادِ زوج رو شامل میشه، نه همه‌ش رو.

اینطوری که من دیدم فقط گزاره B درسته. وقتی شما می پذیرید که (۰)P درسته پس طبق قسمت دوم $p(2n)$ هم درسته که باز نتیجه درست بودن (۰)P رو بهمون میده و از قسمت سوم می تونید نتیجه درست بودن $p(-4)$ و دوباره از درست بودن $p(-4)$ درست بودن $p(-8)$ طبق قسمت دوم و سوم رو بگیرید و همینطور روند رو ادامه بدید.
A درست نیست چون همونطور که می بینید ما درست بودن $p(n)$ رو برای هیچ عدد زوج مثبتی نخواهیم داشت چون نمی تونیم تولید کنیم این اعداد رو با این روندی که گفته شده و بر پایه ۰ و -۴ مثلا. C هم درست نیست چون $p(-2)$ رو نمی تونیم تولید کنیم و درست بودنش رو نتیجه بگیریم.
و B هم که مشخصا درسته و طبق قسمت دوم از درست بودن (۲)P میشه درست بودن اعداد صحیح زوج مثبت رو نتیجه گرفت.