سلام. استدلالش روی تعداد ۱ هه و ۳ هاست. طبق تعریف وزن وقتی قراره وزنش زوج باشه یعنی باید مجموع تعداد ۱ ها و ۳ ها زوج باشه.

ببخشید مگه ما اینجا چند حالت نداریم؟
مثلا یه حالتش اینه که رشته مون همه اش صفر باشه یا ترکیبی از صفر و دو ها باشه که اینا بحثی روشون نیست و وزنشون زوج می شه. اما چند تا حالت خاص هست که باید جداگانه بررسی بشن.
مثلا حالتی که رشته ما فقط ۰ و ۱ داره یا فقط ۰ و ۱و ۲ داره تو این حالت باید تعداد ۱ ها زوج باشه
یه حالت دیگه هم وقتیه که رشته ما فقط ۰و ۳ داره یا فقط ۰ و۲و۳ داره اینجا باید تعداد ۳ هامون زوج باشه
حال حالتی رو در نظر می گیریم که رشته مون ۰و۱ و ۲ و۳ رو با هم داره، تعداد ۰و ۲ ها که برای ما مشکلی پیش نمی یاره و هر چقدر ازشون داشته باشیم رشته زوج می شه. اما تعداد ۱ ها و ۳ ها باید زوج باشه .
مثلا سه تا ۲ داشته باشیم یه ۳ یه ۱ و بقیه اش صفر که می شه: [tex]2 2 2 3 1=10[/tex] اینجا تعداد ۱و ۳ هامون زوجه

الان حرفی که شما زدین فقط برای مورد آخر کاربرد داره ، که تعداد ۱ و ۳ ها زوجن
اما خب حالت هایی که ۱ داریم و ۳ نداریم چی؟ یا اون حالتی که ۳ داریم ۱ نداریم؟ می شه اون سیگما رو باز کنید و توضیح بدید که هر قسمتش از کجا میاد؟

نیاز به جداکردن نداریم. تعداد رشته هایی که رقم فرد دارن چقدره؟ در هر جایگاه دو حالت ( ۰ یا ۲ ) داره. میشه ۲ به تولن ۱۰ حالت. تعداد رشته هایی که دقیقاً ۲ رقم فرد دارن چقدره؟ ۲ مکان از ۱۰ مکان رو برای رقم های فرد انتخاب میکنیم. حالا هم رقم های فرد و هم رقم های زوج هرکدومشون ۲ حالت دارن. تعداد این حالت میشه [tex]\binom{10}{2}\times 2^{10}[/tex]. به طریق مشابه برای تعداد دیگه از ارقام فرد فقط تعداد انتخابهامون متفاوته. جواب کلی میشه مجموع این حالات یعنی [tex]\sum_{i=0}^5\binom{10}{2i}\times 2^{10}=2^9\times 2^{10}=2^{19}[/tex].