گردایه ی همه ی رشته های به طول ۱۰ را که از الفبای ۰,۱,۲,۳ تشکیل شده است در نظز می گیریم. چند تا از این رشته ها دارای وزن زوج هستند؟
این سوال ۲۱ تمرین های بخش ۳/۱ گریمالیدیه. جوابش می شه :
[tex]2^{10} \left ( \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{2i}\right )[/tex]
من اصلا نمی دونم این سوال چطور حل شده و استدلالمون برای حل سوال چیه؟
سلام. استدلالش روی تعداد ۱ هه و ۳ هاست. طبق تعریف وزن وقتی قراره وزنش زوج باشه یعنی باید مجموع تعداد ۱ ها و ۳ ها زوج باشه.
ببخشید مگه ما اینجا چند حالت نداریم؟
مثلا یه حالتش اینه که رشته مون همه اش صفر باشه یا ترکیبی از صفر و دو ها باشه که اینا بحثی روشون نیست و وزنشون زوج می شه. اما چند تا حالت خاص هست که باید جداگانه بررسی بشن.
مثلا حالتی که رشته ما فقط ۰ و ۱ داره یا فقط ۰ و ۱و ۲ داره تو این حالت باید تعداد ۱ ها زوج باشه
یه حالت دیگه هم وقتیه که رشته ما فقط ۰و ۳ داره یا فقط ۰ و۲و۳ داره اینجا باید تعداد ۳ هامون زوج باشه
حال حالتی رو در نظر می گیریم که رشته مون ۰و۱ و ۲ و۳ رو با هم داره، تعداد ۰و ۲ ها که برای ما مشکلی پیش نمی یاره و هر چقدر ازشون داشته باشیم رشته زوج می شه. اما تعداد ۱ ها و ۳ ها باید زوج باشه .
مثلا سه تا ۲ داشته باشیم یه ۳ یه ۱ و بقیه اش صفر که می شه: [tex]2 2 2 3 1=10[/tex] اینجا تعداد ۱و ۳ هامون زوجه
الان حرفی که شما زدین فقط برای مورد آخر کاربرد داره ، که تعداد ۱ و ۳ ها زوجن
اما خب حالت هایی که ۱ داریم و ۳ نداریم چی؟ یا اون حالتی که ۳ داریم ۱ نداریم؟ می شه اون سیگما رو باز کنید و توضیح بدید که هر قسمتش از کجا میاد؟
نیاز به جداکردن نداریم. تعداد رشته هایی که رقم فرد دارن چقدره؟ در هر جایگاه دو حالت ( ۰ یا ۲ ) داره. میشه ۲ به تولن ۱۰ حالت. تعداد رشته هایی که دقیقاً ۲ رقم فرد دارن چقدره؟ ۲ مکان از ۱۰ مکان رو برای رقم های فرد انتخاب میکنیم. حالا هم رقم های فرد و هم رقم های زوج هرکدومشون ۲ حالت دارن. تعداد این حالت میشه [tex]\binom{10}{2}\times 2^{10}[/tex]. به طریق مشابه برای تعداد دیگه از ارقام فرد فقط تعداد انتخابهامون متفاوته. جواب کلی میشه مجموع این حالات یعنی [tex]\sum_{i=0}^5\binom{10}{2i}\times 2^{10}=2^9\times 2^{10}=2^{19}[/tex].