(۲۲ تیر ۱۳۹۲ ۰۶:۳۲ ب.ظ)بنده ی خدا نوشته شده توسط:  سلام
فرض کنیم که G یک گروه باشد که a و b دو عضو از آن باشند، داریم:

$(a*b)*(a*b)^{-1}= e$
$(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})= a*(b*b^{-1})*a^{-1} = (a*e)*a^{-1} = e$

و بدین شیوه تساوی طرفین عبارت $(a*b)^{-1}= b^{-1}*a^{-1}$ اثبات می گردد.
توضیح اضافه اینکه در قسمت دو در تساوی ها از خاصیت شرکت پذیری گروه بهره بردیم.

فرض کنیم که G یک گروه باشد که a و b غضوی از آن باشند که برای هر عضو چون a از G خاصیت $a^{-1}=a$
برقرار باشد، برای اینکه نشان دهیم آبلی است باید در واقع نشان دهیم که a*b=b*a و برای این داریم:

$1.(a*b)*(a*b)= e$
$2.(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})= e$
$3.(a*b)=(b^{-1}*a^{-1})$
$4.(a*b)=(b*a)$

توضیح اضافه:
قسمت یک از خاصیت مسئله نتیجه می شود چرا که بنا به تعریف گروه a*b یک عضو گروه محسوب می شود.
قسمت دو را به سادگی می توان بررسی کرد (مثل بالا)
قسمت سه ار یک و دو نتیجه می شود
قسمت چهار از سه و خاصیت مسئله برای اعضای گروه نتیجه می شود یعنی $a^{-1}=a$ و $b^{-1}=b$