سلام. سوال یک رو دقیقاً متوجه نمیشم که چی میگه و چی میخاد. اگه منظور از اختلاف فاصله «تعداد بیت‌های متفاوت» باشه یعنی مثلاً فاصله ۱۱۰۱ با ۱۰۰۱ رو ۱ درنظر بگیره (چون فقط توی بیت دوم از سمت چپ اختلاف دارن) مسئله اینجوری حل میشه:

تعداد دنباله های به فاصله m میشه تعداد رشته های nبیتی که دقیقاً توی mبیت اختلاف دارن و m نمیتونه از n بیشتر باشه. جواب میشه [tex]\binom{n}{m}[/tex]

دنباله های به فاصله حداکثر m هم میشه جمع مقادیر بالا به ازای m از ۰ تا مقدار حداکثر که میشه [tex]\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}[/tex]

سوال دوم میگه تعداد حالات انتخاب ۵ رقم با تکرار از بازه ۰ تا ۹ با شرط اینکه هرکدام از اعداد ۱و۳و۷ نهایتاً یکبار انتخاب بشن. جواب میشه جمع حالات زیر:

از ۳ عدد ۱و۳و۷ هیچیک انتخاب نشن. یعنی ۵ شئ با تکرار از ۷ نوع بشه انتخاب کرد. جواب میشه [tex]\binom{3}{0}\binom{5 7-1}{5}[/tex]

دقیقاً یکی از مجموعه ارقام فوق داشته باشیم (یعنی انتخاب ۱ از ۳) و ۴ رقم (شئ) دیگر از بین ۷ رقم ذکر نشده که میشه [tex]\binom{3}{1}\binom{4 7-1}{4}[/tex]

دقیقاً ۲تا از ارقام مجموعه فوق انتخاب بشن و ۳ عضو دیگه از ۷ عضو باقی مونده [tex]\binom{3}{2}\binom{3 7-1}{3}[/tex]

هرسه رقم فوق انتخاب بشن که میشه [tex]\binom{3}{3}\binom{2 7-1}{2}[/tex]

جمع این ۴ مقدار هم جواب مسئلمونه که میشه نوشت [tex]\binom{11}{5} 3\binom{10}{4} 3\binom{9}{3} \binom{8}{2}[/tex]