زمان کنونی: ۰۹ فروردین ۱۴۰۳, ۰۷:۲۰ ب.ظ مهمان گرامی به انجمن مانشت خوش آمدید. برای استفاده از تمامی امکانات انجمن می‌توانید عضو شوید.
گزینه‌های شما (ورودثبت نام)

فصل " حل معادله دیفرانسیل با کمک سری ها" در معادلات دیفرانسیل را نمی فهمم!!

ارسال:
۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۷, ۰۵:۱۳ ب.ظ (آخرین ویرایش در این ارسال: ۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۵:۱۴ ب.ظ، توسط saeid4x.)
فصل " حل معادله دیفرانسیل با کمک سری ها" در معادلات دیفرانسیل را نمی فهمم!!
سلام دوستان

من این ترم معادلات برداشتم اما فصل حل معادله با سری ها رو نمی فهمم!... می خواستم بدونم اگه این فصل رو حذف کنم تو فصل های بعدی که(تبدیل لاپلاس- دستگاه معادلات-توابع بسل و...) است آیا به مشکل می خورم یا نه؟
مشاهده‌ی وب‌سایت کاربر یافتن تمامی ارسال‌های این کاربر
نقل قول این ارسال در یک پاسخ
ارسال:
۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۷, ۰۸:۱۹ ب.ظ (آخرین ویرایش در این ارسال: ۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۹:۱۱ ب.ظ، توسط CSX.)
RE: فصل " حل معادله دیفرانسیل با کمک سری ها" در معادلات دیفرانسیل را نمی فه...
(۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۵:۱۳ ب.ظ)saeid4x نوشته شده توسط:  سلام دوستان

من این ترم معادلات برداشتم اما فصل حل معادله با سری ها رو نمی فهمم!... می خواستم بدونم اگه این فصل رو حذف کنم تو فصل های بعدی که(تبدیل لاپلاس- دستگاه معادلات-توابع بسل و...) است آیا به مشکل می خورم یا نه؟

سلام، می‌تونید از این فصل گذر کنید، اما واقعاً حیفه. می‌شه همین جا کمی راجع به سری‌های توانی و کاربردشون تو حل معادلات دیفرانسیل بحث کرد!

خیلی فشرده فصل «حل معادلات دیفرانسیل به کمک سری‌های توانی» رو با هم مرور می‌کنیم؛

فرض کنید بخواهیم معادلهٔ دیفرانسیل خطی زیر را حل کنیم.
[tex]f_2(x)y''+f_1(x)y'+f_0(x)y=R(x)[/tex]

برای استفاده از سری‌های توانی باید نقاط تکین منظم رو شناخت. با چشم‌پوشی از تعاریف نظری دقیق، اگر حدود زیر وجود داشت (متناهی بود)، آن‌گاه نقطهٔ [tex]x_0[/tex] نقطه‌ای تکین منظم است و می‌توان با استفاده از آن یک سری توانی برای جواب معادلهٔ دیفرانسیل بالا نوشت.
[tex]p_0=\lim_{x\to x_0}x\frac{f_1(x)}{f_2(x)},\quad q_0=\lim_{x\to x_0}x^2\frac{f_0(x)}{f_2(x)}[/tex]

حال معادلهٔ شاخصی را تشکیل می‌دهیم؛
[tex]r^2+(p_0-1)r+q_0=0[/tex]

بسته به این که دو جواب معادلهٔ شاخصی چه شرایطی داشته باشد، جواب عمومی معادلهٔ دیفرانسیل مد نظر تعیین می‌شود؛

اگر [tex]r_1-r_2\: \notin\mathbb{Z}[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=(x-x_0)^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است.

اگر [tex]r_1=r_2=r[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است.


در پایان اگر [tex]r_1-r_2\in\mathbb{Z}[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=ky_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است. ([tex]k\: \in\mathbb{R}[/tex])

برای محاسبهٔ [tex]a_n[/tex]ها نیز به کمک بسط تیلور داریم،
[tex]a_n=\frac{y^{(n)}(x_0)}{n!}[/tex]

محاسبهٔ مشتقات مرتبهٔ بالاتر [tex]y[/tex] در نقطهٔ [tex]x_0[/tex] به کمک معادلهٔ دیفرانسیل اصلی صورت می‌گیرد.

برای محاسبهٔ بازهٔ همگرایی سری توانی نیز می‌توانیم از آزمون‌های ریشه یا نسبت استفاده کنیم!

این کلیات و مسائل ابتدایی در مورد سری‌های توانی است. اگر بخواهیم کمی پیش‌تر بریم، محاسبهٔ مشتقات مرتبهٔ بالاتر جواب معادلهٔ دیفرانسیل با کمک قضیهٔ لایبنیتز است که بعداً در صورت نیاز توضیح می‌دم!

منتظر بازخورد مطالب گفته شده هستم تا متناسب با اون‌ها پیش بریم!
یافتن تمامی ارسال‌های این کاربر
نقل قول این ارسال در یک پاسخ
 سپاس‌گزاری شده توسط: saeid4x
ارسال:
۲۷ اردیبهشت ۱۳۹۷, ۰۹:۴۵ ق.ظ
RE: فصل " حل معادله دیفرانسیل با کمک سری ها" در معادلات دیفرانسیل را نمی فه...
(۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۸:۱۹ ب.ظ)CSX نوشته شده توسط:  
(26 اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۵:۱۳ ب.ظ)saeid4x نوشته شده توسط:  سلام دوستان

من این ترم معادلات برداشتم اما فصل حل معادله با سری ها رو نمی فهمم!... می خواستم بدونم اگه این فصل رو حذف کنم تو فصل های بعدی که(تبدیل لاپلاس- دستگاه معادلات-توابع بسل و...) است آیا به مشکل می خورم یا نه؟

سلام، می‌تونید از این فصل گذر کنید، اما واقعاً حیفه. می‌شه همین جا کمی راجع به سری‌های توانی و کاربردشون تو حل معادلات دیفرانسیل بحث کرد!

خیلی فشرده فصل «حل معادلات دیفرانسیل به کمک سری‌های توانی» رو با هم مرور می‌کنیم؛

فرض کنید بخواهیم معادلهٔ دیفرانسیل خطی زیر را حل کنیم.
[tex]f_2(x)y''+f_1(x)y'+f_0(x)y=R(x)[/tex]

برای استفاده از سری‌های توانی باید نقاط تکین منظم رو شناخت. با چشم‌پوشی از تعاریف نظری دقیق، اگر حدود زیر وجود داشت (متناهی بود)، آن‌گاه نقطهٔ [tex]x_0[/tex] نقطه‌ای تکین منظم است و می‌توان با استفاده از آن یک سری توانی برای جواب معادلهٔ دیفرانسیل بالا نوشت.
[tex]p_0=\lim_{x\to x_0}x\frac{f_1(x)}{f_2(x)},\quad q_0=\lim_{x\to x_0}x^2\frac{f_0(x)}{f_2(x)}[/tex]

حال معادلهٔ شاخصی را تشکیل می‌دهیم؛
[tex]r^2+(p_0-1)r+q_0=0[/tex]

بسته به این که دو جواب معادلهٔ شاخصی چه شرایطی داشته باشد، جواب عمومی معادلهٔ دیفرانسیل مد نظر تعیین می‌شود؛

اگر [tex]r_1-r_2\: \notin\mathbb{Z}[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=(x-x_0)^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است.

اگر [tex]r_1=r_2=r[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است.


در پایان اگر [tex]r_1-r_2\in\mathbb{Z}[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=ky_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است. ([tex]k\: \in\mathbb{R}[/tex])

برای محاسبهٔ [tex]a_n[/tex]ها نیز به کمک بسط تیلور داریم،
[tex]a_n=\frac{y^{(n)}(x_0)}{n!}[/tex]

محاسبهٔ مشتقات مرتبهٔ بالاتر [tex]y[/tex] در نقطهٔ [tex]x_0[/tex] به کمک معادلهٔ دیفرانسیل اصلی صورت می‌گیرد.

برای محاسبهٔ بازهٔ همگرایی سری توانی نیز می‌توانیم از آزمون‌های ریشه یا نسبت استفاده کنیم!

این کلیات و مسائل ابتدایی در مورد سری‌های توانی است. اگر بخواهیم کمی پیش‌تر بریم، محاسبهٔ مشتقات مرتبهٔ بالاتر جواب معادلهٔ دیفرانسیل با کمک قضیهٔ لایبنیتز است که بعداً در صورت نیاز توضیح می‌دم!

منتظر بازخورد مطالب گفته شده هستم تا متناسب با اون‌ها پیش بریم!


ممنون از راهنمایی خوبت.
مشکلم اینه که نمی تونم با سیگما کار کنم .مثلا تو یه سوالی از اندیس سیگما چند واحد کم/یا اضافه می کرد و به عبارت جلوی اون می داد!. در واقع مشکلم اینه که نمی تونم با اندیس سیگما ها کار کنم؟یعنی نمی دونم چه خواصی دارند.

و مشکل دوم : معادله بازگشتی رو نمی دونم چطور بدست بیارم؟

بازم تشکر ازت.
مشاهده‌ی وب‌سایت کاربر یافتن تمامی ارسال‌های این کاربر
نقل قول این ارسال در یک پاسخ
ارسال:
۲۷ اردیبهشت ۱۳۹۷, ۱۰:۵۳ ق.ظ
RE: فصل " حل معادله دیفرانسیل با کمک سری ها" در معادلات دیفرانسیل را نمی فه...
(۲۷ اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۹:۴۵ ق.ظ)saeid4x نوشته شده توسط:  
(26 اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۸:۱۹ ب.ظ)CSX نوشته شده توسط:  
(26 اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۵:۱۳ ب.ظ)saeid4x نوشته شده توسط:  سلام دوستان

من این ترم معادلات برداشتم اما فصل حل معادله با سری ها رو نمی فهمم!... می خواستم بدونم اگه این فصل رو حذف کنم تو فصل های بعدی که(تبدیل لاپلاس- دستگاه معادلات-توابع بسل و...) است آیا به مشکل می خورم یا نه؟

سلام، می‌تونید از این فصل گذر کنید، اما واقعاً حیفه. می‌شه همین جا کمی راجع به سری‌های توانی و کاربردشون تو حل معادلات دیفرانسیل بحث کرد!

خیلی فشرده فصل «حل معادلات دیفرانسیل به کمک سری‌های توانی» رو با هم مرور می‌کنیم؛

فرض کنید بخواهیم معادلهٔ دیفرانسیل خطی زیر را حل کنیم.
[tex]f_2(x)y''+f_1(x)y'+f_0(x)y=R(x)[/tex]

برای استفاده از سری‌های توانی باید نقاط تکین منظم رو شناخت. با چشم‌پوشی از تعاریف نظری دقیق، اگر حدود زیر وجود داشت (متناهی بود)، آن‌گاه نقطهٔ [tex]x_0[/tex] نقطه‌ای تکین منظم است و می‌توان با استفاده از آن یک سری توانی برای جواب معادلهٔ دیفرانسیل بالا نوشت.
[tex]p_0=\lim_{x\to x_0}x\frac{f_1(x)}{f_2(x)},\quad q_0=\lim_{x\to x_0}x^2\frac{f_0(x)}{f_2(x)}[/tex]

حال معادلهٔ شاخصی را تشکیل می‌دهیم؛
[tex]r^2+(p_0-1)r+q_0=0[/tex]

بسته به این که دو جواب معادلهٔ شاخصی چه شرایطی داشته باشد، جواب عمومی معادلهٔ دیفرانسیل مد نظر تعیین می‌شود؛

اگر [tex]r_1-r_2\: \notin\mathbb{Z}[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=(x-x_0)^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است.

اگر [tex]r_1=r_2=r[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است.


در پایان اگر [tex]r_1-r_2\in\mathbb{Z}[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=ky_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است. ([tex]k\: \in\mathbb{R}[/tex])

برای محاسبهٔ [tex]a_n[/tex]ها نیز به کمک بسط تیلور داریم،
[tex]a_n=\frac{y^{(n)}(x_0)}{n!}[/tex]

محاسبهٔ مشتقات مرتبهٔ بالاتر [tex]y[/tex] در نقطهٔ [tex]x_0[/tex] به کمک معادلهٔ دیفرانسیل اصلی صورت می‌گیرد.

برای محاسبهٔ بازهٔ همگرایی سری توانی نیز می‌توانیم از آزمون‌های ریشه یا نسبت استفاده کنیم!

این کلیات و مسائل ابتدایی در مورد سری‌های توانی است. اگر بخواهیم کمی پیش‌تر بریم، محاسبهٔ مشتقات مرتبهٔ بالاتر جواب معادلهٔ دیفرانسیل با کمک قضیهٔ لایبنیتز است که بعداً در صورت نیاز توضیح می‌دم!

منتظر بازخورد مطالب گفته شده هستم تا متناسب با اون‌ها پیش بریم!


ممنون از راهنمایی خوبت.
مشکلم اینه که نمی تونم با سیگما کار کنم .مثلا تو یه سوالی از اندیس سیگما چند واحد کم/یا اضافه می کرد و به عبارت جلوی اون می داد!. در واقع مشکلم اینه که نمی تونم با اندیس سیگما ها کار کنم؟یعنی نمی دونم چه خواصی دارند.

و مشکل دوم : معادله بازگشتی رو نمی دونم چطور بدست بیارم؟

بازم تشکر ازت.

برای رابطهٔ بازگشتی بین ضرایب سری توانی باید از قضیهٔ لایبنیتز استفاده کنی.

قضیهٔ لایبنیتز
فرض کن [tex]u[/tex] و [tex]v[/tex] توابعی از [tex]x[/tex] باشند، آنگاه مشتق [tex]n[/tex]ام [tex]uv[/tex] از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است:
[tex](uv)^{(n)}=\binom{n}{_0}uv^{(n)}+\binom{n}{_1}u'v^{(n-1)}+\binom{n}{_2}u''v^{(n-2)}+\cdots+\binom{n}{_n}u^{(n)}v[/tex]

کتاب «معادلات دیفرانسیل» محمود کریمی صفحات ۱۹۴ تا ۲۰۸ روش‌های بدست آوردن رابطهٔ بازگشتی و کار با سری‌ها رو خوب توضیح داده، حتماً یه نگاه بنداز.
یافتن تمامی ارسال‌های این کاربر
نقل قول این ارسال در یک پاسخ


موضوع‌های مرتبط با این موضوع...
موضوع: نویسنده پاسخ: بازدید: آخرین ارسال
Information فصل یک تا پنج پایان نامه αɾια ۵ ۴,۸۳۰ ۲۶ بهمن ۱۴۰۰ ۰۴:۱۶ ب.ظ
آخرین ارسال: HoseinMos
  فصل Np , Np hard nazanin2020 ۱ ۱,۷۷۳ ۲۱ آذر ۱۴۰۰ ۱۰:۴۵ ب.ظ
آخرین ارسال: nazanin2020
  مشکل در حل تست ۲۲ فصل اول کتاب گسسته یوسفی pure.yaser ۷ ۸,۳۱۹ ۰۹ اردیبهشت ۱۳۹۹ ۰۶:۵۴ ب.ظ
آخرین ارسال: mohsentafresh
  فصل HEAP از کتاب ساختمان داده طورانی (پارسه) tourani ۳۷ ۳۶,۱۱۸ ۱۲ اسفند ۱۳۹۸ ۰۵:۱۹ ب.ظ
آخرین ارسال: hossein4070
  مهمترین فصل های ذخیره و بازیابی مقسمی enofcom ۱۰ ۵,۴۳۶ ۲۵ آبان ۱۳۹۸ ۰۵:۲۳ ب.ظ
آخرین ارسال: alma1988
  ساختمان داده پوران، فصل اول، راهنمایی برای حل یک مثال ساده marvelous ۲ ۲,۶۱۵ ۲۲ مرداد ۱۳۹۸ ۰۳:۳۰ ب.ظ
آخرین ارسال: marvelous
Exclamation کمک کمک کمک در مورد ادامه تحصیل در مقطع دکتری !!! aminomidi ۳ ۴,۲۶۰ ۱۷ مهر ۱۳۹۷ ۰۵:۴۵ ب.ظ
آخرین ارسال: negarin_
  فروش یک سری کتاب آمادگی برای آزمون آیلتس ، GRE و یک سری کتاب آموزشی انگلیسی و فرانسه niloo72 ۰ ۲,۲۸۲ ۰۸ مهر ۱۳۹۷ ۱۲:۱۹ ق.ظ
آخرین ارسال: niloo72
  Brightness (تنظیم روشنایی) ویندوز ۱۰ کار نمی کند Happiness.72 ۴ ۳,۸۶۷ ۰۹ مرداد ۱۳۹۷ ۱۱:۳۵ ق.ظ
آخرین ارسال: Happiness.72
  چاپ کاتالوگ خلاقانه سخت نیست! (سری اول) fafaferdos ۰ ۱,۷۲۶ ۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۳:۴۳ ب.ظ
آخرین ارسال: fafaferdos

پرش به انجمن:

Can I see some ID?

به خاطر سپاری رمز Cancel

Feeling left out?


نگران نباش، فقط روی این لینک برای ثبت نام کلیک کن. رمزت رو فراموش کردی؟ اینجا به یادت میاریم! close

رمزت رو فراموش کردی؟

Feeling left out?


نگران نباش، فقط روی این لینک برای ثبت نام کلیک کن. close