(۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۷ ۰۵:۱۳ ب.ظ)saeid4x نوشته شده توسط: سلام دوستان
من این ترم معادلات برداشتم اما فصل حل معادله با سری ها رو نمی فهمم!... می خواستم بدونم اگه این فصل رو حذف کنم تو فصل های بعدی که(تبدیل لاپلاس- دستگاه معادلات-توابع بسل و...) است آیا به مشکل می خورم یا نه؟
سلام، می‌تونید از این فصل گذر کنید، اما واقعاً حیفه. می‌شه همین جا کمی راجع به سری‌های توانی و کاربردشون تو حل معادلات دیفرانسیل بحث کرد!
خیلی فشرده فصل «حل معادلات دیفرانسیل به کمک سری‌های توانی» رو با هم مرور می‌کنیم؛
فرض کنید بخواهیم معادلهٔ دیفرانسیل خطی زیر را حل کنیم.
[tex]f_2(x)y''+f_1(x)y'+f_0(x)y=R(x)[/tex]
برای استفاده از سری‌های توانی باید نقاط تکین منظم رو شناخت. با چشم‌پوشی از تعاریف نظری دقیق، اگر حدود زیر وجود داشت (متناهی بود)، آنگاه نقطهٔ [tex]x_0[/tex] نقطه‌ای تکین منظم است و می‌توان با استفاده از آن یک سری توانی برای جواب معادلهٔ دیفرانسیل بالا نوشت.
[tex]p_0=\lim_{x\to x_0}x\frac{f_1(x)}{f_2(x)},\quad q_0=\lim_{x\to x_0}x^2\frac{f_0(x)}{f_2(x)}[/tex]
حال معادلهٔ شاخصی را تشکیل می‌دهیم؛
[tex]r^2+(p_0-1)r+q_0=0[/tex]
بسته به این که دو جواب معادلهٔ شاخصی چه شرایطی داشته باشد، جواب عمومی معادلهٔ دیفرانسیل مد نظر تعیین می‌شود؛
اگر [tex]r_1-r_2\: \notin\mathbb{Z}[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=(x-x_0)^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است.
اگر [tex]r_1=r_2=r[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است.
در پایان اگر [tex]r_1-r_2\in\mathbb{Z}[/tex] باشد، جواب همگن معادلهٔ دیفرانسیل به صورت [tex]y=c_1y_1+c_2y_2[/tex] است که در آن
[tex]y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n[/tex]
و
[tex]y_2=ky_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n[/tex]
است. ([tex]k\: \in\mathbb{R}[/tex])
برای محاسبهٔ [tex]a_n[/tex]ها نیز به کمک بسط تیلور داریم،
[tex]a_n=\frac{y^{(n)}(x_0)}{n!}[/tex]
محاسبهٔ مشتقات مرتبهٔ بالاتر [tex]y[/tex] در نقطهٔ [tex]x_0[/tex] به کمک معادلهٔ دیفرانسیل اصلی صورت می‌گیرد.
برای محاسبهٔ بازهٔ همگرایی سری توانی نیز می‌توانیم از آزمون‌های ریشه یا نسبت استفاده کنیم!
این کلیات و مسائل ابتدایی در مورد سری‌های توانی است. اگر بخواهیم کمی پیش‌تر بریم، محاسبهٔ مشتقات مرتبهٔ بالاتر جواب معادلهٔ دیفرانسیل با کمک قضیهٔ لایبنیتز است که بعداً در صورت نیاز توضیح می‌دم!
منتظر بازخورد مطالب گفته شده هستم تا متناسب با اون‌ها پیش بریم!
