سلام
ابتدا رابطه بازگشتی را حل می کنیم:
[tex]\frac{a_{n-1}.a_{n+1}}{a_n^2}=(\frac{n+1\: }{n})\: \: \Longrightarrow\Longrightarrow\: \: \: (\frac{a_{n+1}}{a_n})=(\frac{a_n}{a_{n-1}})(\frac{n+1}{n})[/tex]
که اگر [tex]\: \: s_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] بگیریم با [tex]\: \: s_0=2[/tex] خواهیم داشت[tex]\: \: s_n=(\frac{n+1}{n})s_{n-1}[/tex] که با چند بار تکرار و ساده کردن حل می شود[tex]\: \: s_n=2(n+1)[/tex] پس [tex]\: \: a_{n+1}=2(n+1)a_n[/tex] یا [tex]\: \: a_n=2na_{n-1}[/tex] که باز با جایگذاری و تکرار چند گام حل می شود[tex]\: \: a_n=2^nn![/tex]
[tex]a_{100}=2^{100}\times100![/tex] که سوال تعداد ۰ ها در سمت راست ان را می خواهد.[tex]2^{100}[/tex] که صفری ایجاد نمیکند میمونه ۱۰۰ فاکتوریل.که به کمک نکات زیر حل می کنیم:
تعداد عوامل اول p در [tex]n![/tex] برابر با [tex]\: \lfloor(\frac{n}{p})\rfloor+\lfloor(\frac{n}{p^2})\rfloor+\lfloor(\frac{n}{p^3})​\rfloor+...[/tex]
و تعداد صفرهای سمت راست عدد [tex]n![/tex] برابر با تعداد عوامل ۵ است
پس تعداد صفرهای سمت راست عدد ۱۰۰ فاکتوریل برابر با[tex][\frac{100}{5}]+[\frac{100}{25}]=24[/tex]
گزینه ی۲