سلام.
۲/عدد x رقمی توی مبنای ۱۰، حداکثر مقدارش میتونه x تا ۹ داشته باشه یعنی مقدارش برابر میشه با [tex]A=10^x-1[/tex]
مثلا عدد ۳ رقمی توی مبنای ۱۰ بیشترین مقدارش ۹۹۹ هست که برابر هست با [tex]10^۳-۱=۹۹۹[/tex]
حداکثر تعداد بیتی که توی مبنای ۱۰ داره برابر هست با x.
x رو از رابطه ی [tex]A=10^x-1[/tex] به دست میاریم [tex]A\le10^x-1\: \longrightarrow\: \log(A+1)\le\log10^x\: \longrightarrow\: \log(A+1)\le xlog_2^{10}\: \longrightarrow\: \log(A+1)=\lfloor(xlog_2^{10})\rfloor[/tex]
از طرفی میدونیم حداکثر تعداد بیت مورد نیاز توی مبنای ۲ برای عدد A که توی مبنای ۱۰ هست برابر هست با [tex]\log_2^A+1[/tex] خب پس تعداد بیت های مورد نیاز با توجه به اون عبارت های قرمز برابر هست با
[tex]\log A\le\log(A+1)\le x.\log_2^{10}\: \: \longrightarrow\: \: \log A+1\le x.\log_2^{10}+1\: \: \longrightarrow\: \log A+1\le \lceil(x.\log_2^{10})\rceil[/tex]

۳/بزرگترین عدد xرقمی توی مبنای r برابر هست با [tex]r^x-1[/tex]، این عدد واسه ذخیره شدن توی مبنای ۲ به n بیت احتیاج داره.بزرگترین عدد n بیتی توی مبنای t برابر هست با [tex]t^n-1[/tex] و طبق رابطه ی [tex]t^n-1\: \ge\: r^x-1\: \longrightarrow\: n\ge x.\log_t^r\: \longrightarrow\: n=\lceil(x.\log_t^r)\rceil[/tex]

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
به طور کلی مقدار یک x رقمی در مبنای r، کمتر از [tex]r^x[/tex] هست. تعداد ارقام عدد A در مبنای t هم هست [tex]\lceil \lg_t^A \rceil[/tex]، در نتیجه حداکثر تعداد ارقام عدد x رقمی در مبنای r میشه [tex]\lceil \lg_t^{r^x-1} \rceil[/tex] که میشه به صورت [tex]\lceil \lg_t^{r^x} \rceil = \lceil x\lg_t^r \rceil[/tex] نوشت (چون حداکثر رو خواسته، یدونه بزرگتر مهم نیست).