(۰۶ مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۰۶ ب.ظ)sun1000 نوشته شده توسط:  سلام.
استاد ما جلسه اول که اعداد مختلط رو درس داد بهنون یه تمرین داد که ثابت کنیم هر معادله با ضرایب صحیح اگر ریشه مختلطی مانند d داشته باشد مزدوج d هم ریشه میباشد
من سعی کردم یه حالت کلی در نظر بگیرم بسط بدم ولی جواب نداد ممنون میشم دوستان راهنمایی کنن...ممنون

در معادله :
$ax^2 bx c=0$
جمع ریشه ها b/a- و ضرب ریشه ها c/a هست.
اگه ضرایب صحیح باشند جمع ریشه ها و ضرب ریشه ها گویا و حقیقی اند.
وقتی جمع دو عدد مختلط یک عدد حقیقی است که ،جزء موهومی آن دو عدد مختلط، از نظر اندازه مساوی و با علامت مخالف(یکی مثبت و یکی منفی باشه). تا اینجا ریشه ها بصورت r1+jc , r2-jc هستند. باید ثابت کنیم r1 هم با r2 مساویست
ضرب دو ریشه c/a و حقیقی است، دو عدد مختلط با جزء موهومی مختلف العلامت وقتی ضربشان، حقیقی میشه که جزء حقیقی انها مساوی باشه.یعنی r1=r2
پس ریشه های مختلط معادله با ضرایب صحیح فوق، دارای جزء حقیقی مساوی و جزئ موهومی مختلف العلامت هستند یعنی مزدوجند.

(۰۶ مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۱۵ ب.ظ)Fardad-A نوشته شده توسط:  

(06 مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۰۶ ب.ظ)sun1000 نوشته شده توسط:  سلام.
استاد ما جلسه اول که اعداد مختلط رو درس داد بهنون یه تمرین داد که ثابت کنیم هر معادله با ضرایب صحیح اگر ریشه مختلطی مانند d داشته باشد مزدوج d هم ریشه میباشد
من سعی کردم یه حالت کلی در نظر بگیرم بسط بدم ولی جواب نداد ممنون میشم دوستان راهنمایی کنن...ممنون

در معادله :
$ax^2 bx c=0$
جمع ریشه ها b/a- و ضرب ریشه ها c/a هست.
اگه ضرایب صحیح باشند جمع ریشه ها و ضرب ریشه ها گویا و حقیقی اند.
وقتی جمع دو عدد مختلط یک عدد حقیقی است که صرفنظر از جزء حقیقی آنها ،جزء موهومی شان از نظر اندازه مساوی و با علامت مخالف(یکی مثبت و یکی منفی باشه)
حالا دو عدد مختلط با جزء موهومی مختلف العلامت وقتی ضربشان حقیقی میشه که جزء حقیقی انها مساوی باشه.
پس ریشه های مختلط معادله با ضرایب صحیح فوق، دارای جزء حقیقی مساوی و جزئ موهومی مختلف العلامت هستند یعنی مزدوجند.

اقا ممنون از لطف و جواب درست و صحیحتون ولی برای معادله درجه سه و..... چی؟ راهی نیست بشه کلی برای معادله های چند جمله ای ساده با توان دلخواه ثابت کرد؟

(۰۶ مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۲۲ ب.ظ)sun1000 نوشته شده توسط:  

(06 مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۱۵ ب.ظ)Fardad-A نوشته شده توسط:  

(06 مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۰۶ ب.ظ)sun1000 نوشته شده توسط:  سلام.
استاد ما جلسه اول که اعداد مختلط رو درس داد بهنون یه تمرین داد که ثابت کنیم هر معادله با ضرایب صحیح اگر ریشه مختلطی مانند d داشته باشد مزدوج d هم ریشه میباشد
من سعی کردم یه حالت کلی در نظر بگیرم بسط بدم ولی جواب نداد ممنون میشم دوستان راهنمایی کنن...ممنون

در معادله :
$ax^2 bx c=0$
جمع ریشه ها b/a- و ضرب ریشه ها c/a هست.
اگه ضرایب صحیح باشند جمع ریشه ها و ضرب ریشه ها گویا و حقیقی اند.
وقتی جمع دو عدد مختلط یک عدد حقیقی است که صرفنظر از جزء حقیقی آنها ،جزء موهومی شان از نظر اندازه مساوی و با علامت مخالف(یکی مثبت و یکی منفی باشه)
حالا دو عدد مختلط با جزء موهومی مختلف العلامت وقتی ضربشان حقیقی میشه که جزء حقیقی انها مساوی باشه.
پس ریشه های مختلط معادله با ضرایب صحیح فوق، دارای جزء حقیقی مساوی و جزئ موهومی مختلف العلامت هستند یعنی مزدوجند.

اقا ممنون از لطف و جواب درست و صحیحتون ولی برای معادله درجه سه و..... چی؟ راهی نیست بشه کلی برای معادله های چند جمله ای ساده با توان دلخواه ثابت کرد؟

معادله درجه ۳ که اگه ضرایب حقیقی باشند همه ریشه ها حقیقی اند یا دو ریشه مزدوج و یکی حقیقی است.
درجه ۴ هم بهمین روش ثابت میشه. یعنی درجات زوج اگه ضرایب حقیقی باشند از روی ضرایب معادله جمع و ضرب ریشه ها و جمع حاصلضرب دو به ذوی ریشه ها در میاد و بهمین ترتیب برای معادلات از درجات زوج ثابت میشه که تعداد ریشه های مختلط معادله زوج هست . یعنی ممکنه بعضی ریشه ها حقیقی و بعضی مختلط باشند ولی تعداد حقیقی ها زوج و تعداد ریشه های مختلط هم زوج و مختلطها دو بدو مزدوجند.
اثبات کلی داره که فک نکنم لازمتون باشه .

(۰۶ مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۳۵ ب.ظ)Fardad-A نوشته شده توسط:  

(06 مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۲۲ ب.ظ)sun1000 نوشته شده توسط:  

(06 مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۱۵ ب.ظ)Fardad-A نوشته شده توسط:  

(06 مهر ۱۳۹۴ ۱۰:۰۶ ب.ظ)sun1000 نوشته شده توسط:  سلام.
استاد ما جلسه اول که اعداد مختلط رو درس داد بهنون یه تمرین داد که ثابت کنیم هر معادله با ضرایب صحیح اگر ریشه مختلطی مانند d داشته باشد مزدوج d هم ریشه میباشد
من سعی کردم یه حالت کلی در نظر بگیرم بسط بدم ولی جواب نداد ممنون میشم دوستان راهنمایی کنن...ممنون

در معادله :
$ax^2 bx c=0$
جمع ریشه ها b/a- و ضرب ریشه ها c/a هست.
اگه ضرایب صحیح باشند جمع ریشه ها و ضرب ریشه ها گویا و حقیقی اند.
وقتی جمع دو عدد مختلط یک عدد حقیقی است که صرفنظر از جزء حقیقی آنها ،جزء موهومی شان از نظر اندازه مساوی و با علامت مخالف(یکی مثبت و یکی منفی باشه)
حالا دو عدد مختلط با جزء موهومی مختلف العلامت وقتی ضربشان حقیقی میشه که جزء حقیقی انها مساوی باشه.
پس ریشه های مختلط معادله با ضرایب صحیح فوق، دارای جزء حقیقی مساوی و جزئ موهومی مختلف العلامت هستند یعنی مزدوجند.

اقا ممنون از لطف و جواب درست و صحیحتون ولی برای معادله درجه سه و..... چی؟ راهی نیست بشه کلی برای معادله های چند جمله ای ساده با توان دلخواه ثابت کرد؟

معادله درجه ۳ که اگه ضرایب حقیقی باشند ریشه ها هم حقیقی اند.
درجه ۴ هم بهمین روش ثابت میشه. یعنی درجات زوج اگه ضرایب حقیقی باشند از روی ضرایب معادله جمع و ضرب ریشه ها و جمع حاصلضرب دو به ذوی ریشه ها در میاد و بهمین ترتیب برای معادلات از درجات زوج ثابت میشه که تعداد ریشه های مختلط معادله زوج هست . یعنی ممکنه بعضی ریشه ها حقیقی و بعضی مختلط باشند ولی تعداد حقیقی ها زوج و تعداد ریشه های مختلط هم زوج و مختلطها دو بدو مزدوجند.
اثبات کلی داره که فک نکنم لازمتون باشه .

ببینید الان یه مسال هم دادن مثلا اگر z ریشه معادله داخل عکس باشه ثابت کنید مزدوج z هم ریشه است ...
من سعی کردم با قواعد جابجایی مزدوج حل کنم ولی نمیدونم درسته یا نه...

در مورد معادله درجه ۳ من جمله ام را تصحیح کردم. معادله درجه ۳ با ضرایب حقیقی یا هر سه ریشه حقیقی یا دو ریشه مزدوج و یکی حقیقی است.
در معادله ای که زدین :
ضرب سه ریشه c/a
جمع سه ریشه b/a -
حالا چون جمع سه ریشه حقیقی است پس مجموع بخشهای موهومی سه ریشه صفر میشود.
ضرب سه ریشه حقیقی هست. میشه ثابت کرد که دو ریشه مزدوج و یکی حقیقی است.

راه حل معمولیش اینه که سه ریشه را بصورت z1=r1+jc1,z2=r2+jc2,z3=r3+jc3 بگیرید.
معادله باید باین صورت باشه که ریشه هاش اینا باشه:
۰=(z-r1-jc1)(z-r2-jc2)(z-r3-jc3)
حالا این ضرب را باید انجام بدین و ضرایب را با هم مساوی بگیرید(البته در معادله داخل عکس هم طرفین را بر a تقسیم کرده و ضرایب معادله فوق را با ضرایب معادله داخل عکس مساوی بگیرید) و به این نتیجه برسید که :
c1=0
r2=r3
c2= -c3

(۰۶ مهر ۱۳۹۴ ۱۱:۲۸ ب.ظ)Fardad-A نوشته شده توسط:  در مورد معادله درجه ۳ من جمله ام را تصحیح کردم. معادله درجه ۳ با ضرایب حقیقی یا هر سه ریشه حقیقی یا دو ریشه مزدوج و یکی حقیقی است.
در معادله ای که زدین :
ضرب سه ریشه c/a
جمع سه ریشه b/a -
حالا چون جمع سه ریشه حقیقی است پس مجموع بخشهای موهومی سه ریشه صفر میشود.
ضرب سه ریشه حقیقی هست. میشه ثابت کرد که دو ریشه مزدوج و یکی حقیقی است.

راه حل معمولیش اینه که سه ریشه را بصورت z1=r1+jc1,z2=r2+jc2,z3=r3+jc3 بگیرید.
معادله باید باین صورت باشه که ریشه هاش اینا باشه:
۰=(z-r1-jc1)(z-r2-jc2)(z-r3-jc3)
حالا این ضرب را باید انجام بدین و ضرایب را با هم مساوی بگیرید(البته در معادله داخل عکس هم طرفین را بر a تقسیم کرده و ضرایب معادله فوق را با ضرایب معادله داخل عکس مساوی بگیرید) و به این نتیجه برسید که :
c1=0
r2=r3
c2= -c3

اثبات کردم ولی استاد میگه اون روابط بین ریشه ها برای اعداد حقیقی هستن ثابت کن برای اعداد مختلط هم برقراره.. :/
از تعریف میدانی اعداد محتلط و زیر مجموعه بودن اعداد حقیقی سعی کردم اثبات کنم ولی نتیجه ای نداشتم.....
چطور ثابت کنم اون روابط بین ریشه ها برا اعاد مختلط هم حاکمه؟

جمع و ضرب که حقیقی و مختلط نداره.
اثباتش مطابق عکس هست.


یا:

مهمان عزیز شما قادر به مشاهده پیوندهای انجمن مانشت نمی‌باشید. جهت مشاهده پیوندها ثبت نام کنید.