جواب سوال:

الف)
$0,2\in \left \{ 0,1,2,...,20 \right \}$ و $1\in \left \{ 0,2,4,...,20 \right \}$ (زوج ها)
باید ضریب $\frac{x^{20}}{20!}$ را در تابع مولد نمایی (چون در دنباله ترتیب مهمه تابع مولد نمایی می نویسیم) زیر بدست آورید چون این ضریب برابر تعداد دنباله های ۲۰تایی از سه عدد ۰ و ۱و ۲ که تعداد زوجی ۱ دارد، است:
$g(x)=(1 \frac{x}{1!} \cdots \frac{x^{20}}{20!})^{2}(1 \frac{x^{2}}{2!} \cdots \frac{x^{20}}{20!})$
و چون ضرایب جملات با توان بیشتر از ۲۰ تاثیری در ساخت ضریب $\frac{x^{20}}{20!}$ ندارد پس می توانیم آنها را اضافه کنیم:
$h(x)=(1 \frac{x}{1!} \cdots \frac{x^{20}}{20!} \frac{x^{21}}{21!} \cdots )^{2}(1 \frac{x^{2}}{2!} \cdots \frac{x^{20}}{20!} \frac{x^{22}}{22!} \cdots )$
که برابر می شود با: $h(x)=(e^{x})^{^{2}}(\frac{e^{x} e^{-x}}{2})=\frac{1}{2}(e^{3x} e^{x})$
و ضریب $\frac{x^{20}}{20!}$ برابر است با: $\frac{1}{2}(3^{20} 1^{20})$
حال باید احتمال تولید این دنباله هارو حساب کنیم یعنی این ضریب بدست آمده رو بر کل تعداد دنباله ها تقسیم کنیم پس باید تعداد کل دنباله ها رو هم حساب کنیم:
$0,1,2\in \left \{ 0,1,2,...,20 \right \}$
پس تابع مولد نمایی برابر است با:
$g(x)=(1 \frac{x}{1!} \cdots \frac{x^{20}}{20!})^{3}$
$\Rightarrow h(x)=(1 \frac{x}{1!} \cdots \frac{x^{20}}{20!} \frac{x^{21}}{21!} \cdots )^{3}=(e^{x})^{3}=e^{3x}$
و ضریب $\frac{x^{20}}{20!}$ برابر است با: $3^{20}$
در نتیجه احتمال خواسته شده (جواب قسمت الف) برابر است با: $\frac{3^{20} 1}{2(3^{20})}$

---

ب)
$0\in \left \{ 0,1,2,...,20 \right \}$ و $1,2\in \left \{ 0,2,4,...,20 \right \}$ (زوج ها)
$g(x)=(1 \frac{x}{1!} \cdots \frac{x^{20}}{20!})(1 \frac{x^{2}}{2!} \cdots \frac{x^{20}}{20!})^{2}$
$h(x)=(1 \frac{x}{1!} \cdots \frac{x^{20}}{20!} \frac{x^{21}}{21!} \cdots )(1 \frac{x^{2}}{2!} \cdots \frac{x^{20}}{20!} \frac{x^{22}}{22!} \cdots )^{2}$
که برابر می شود با: $h(x)=(e^{x})(\frac{e^{x} e^{-x}}{2})^{2}=\frac{1}{4}(e^{3x} e^{-x} 2)$
و ضریب $\frac{x^{20}}{20!}$ برابر است با: $\frac{1}{4}(3^{20} 1^{20} 2)$
در نتیجه احتمال خواسته شده (ضریب بدست آمده تقسیم بر کل تعداد دنباله ها) برابر است با:
$\frac{3^{20} 3}{4(3^{20})}$

---

راهنمایی واسه قسمت ج: برای تعداد فردها از تابع مولد sinx استفاده کن و جوابت هم باید بشه: $\frac{3^{20}-1}{2(3^{20})}$
راهنمایی واسه قسمت د: در این حالت یا تعداد ۱ها فرد و تعداد ۲ها زوج است یا تعداد ۱ها زوج و تعداد ۲ها فرد، و جوابت هم باید بشه: $\frac{3^{20}-1}{2(3^{20})}$
راهنمایی واسه قسمت هـ: روش اول) شمول و طرد، روش دوم) (مثله قسمت د) یا تعداد ۱ها زوج و تعداد ۲ها زوج است یا تعداد ۱ها فرد و تعداد ۲ها فرد، و جوابت هم باید بشه: $\frac{3^{20} 1}{2(3^{20})}$