(۰۵ اسفند ۱۳۹۰ ۰۵:۵۰ ب.ظ)Lakikharin نوشته شده توسط:  حل تشریحی سوالات کنکور مهندسی ۹۱
سوال ۶۶ میشه گزینه ۱:

اولی غلطه چون به ازای هر x,y درست نیست. برای yهای منفی جواب نمیده. (مثال نقض)
دومی درسته. میشه همیشه درنظر گرفت y=|x|+1 که توی رابطه صدق میکنه. به ازای هر x رابطه جواب میده.
سومی غلطه چون برای yهای منفی نمیشه x پیدا کرد.
چهارمی هم درسته چون زیرمجموعه دومیه.

سوال ۶۷ میشه گزینه ۳:

شکل گراف رو توضیح میدم. یک راس وسط و ۸راس اطرافش بکشید. راس وسط رو به همه رئوس وصل کنید. یکی از این ۸ راس رو به ۳ راس دیگه از ۷ راس دیگه وصل کنید.
راس برشی هم اگه تعریفش راسیه که با حذف یک یال درجش صفر میشه، داریم. پس ۱ غلطه.
G دوبخشی نیست. چون دور بطول ۳ داریم و دورنگ پذیر نیست. یا یک راس داریم که با همه رئوس دیگه مجاوره. پس ۲ هم غلطه.
G مسطحه شکلش توصیف شد. گزینه ۳ درسته.
تمام دورهای این گراف یا طول ۳ دارن یا ۴/ پس گزینه ۴ هم غلطه.

سوال ۶۸ میشه گزینه ۱:

درخت مینیمم این گراف تشکیل میشه از ۱۰ یال از درجه ۱، ۹ یال از درجه ۲ و ۱ یال از درجه ۳ که فرقی نمیکنه کدوماشونو بگیریم. جواب میشه:

[tex]\binom{10}{10}\binom{10}{9}\binom{20}{1}=1*10*20=200[/tex]

سوال ۶۹ فکر کنم بشه گزینه ۲:

چیزی که من از این سوال فهمیدم اینه که رئوس این گراف با (a,b,c,d,e) مشخص میشن که این ۵ متغیر میتونن ۰ یا ۱ باشن. پس ۲ به توان ۵ یعنی ۳۲ راس داریم.

این گراف دوبخشیه. میشه رئوسی رو که تعداد زوج ۱ دارن توی بخش X و اونایی که تعداد فرد ۱ دارن توی بخش Y قرار داد. چون شرط مجاورت فقط اختلاف در یک متغیره پس رئوس درون هر بخش با هم مجاور نیستن. پس گزینه ۱ جواب ما نیست.
G مسطح نیست. (۰و۰و۰و۰و۰) با ۵ راس (۰و۰و۰و۰و۱) و (۰و۰و۰و۱و۰) و (۰و۰و۱و۰و۰) و (۰و۱و۰و۰و۰) و (۱و۰و۰و۰و۰) مجاوره. حالا رئوسی رو که دوتا ۱ دارن رو اضافه کنید. نمیشه اونو بصورت مسطح کشید. یه راه دیگشم میشه با ۶ راس ذکر شده گراف K3,3 ساخت. پس گزینه ۲ جوابه.
هر راس دقیقاً با ۵ راس مجاوره. (اگه تعریف تطابق کامل همین باشه.) پس اینم جواب نیست.
۳۲ راس از درجه ۵ داریم پس تعداد یالهامون میشه ۸۰=۳۲/۲*۵ پس این گزینه هم جواب نیست.

سوال ۷۰ میشه گزینه ۳:

برای مشخص کردن تعداد مربع های ۴در۴ کافیه مکانهایی که میتونه یک راس گوشه ایش قرار بگیره رو بشماریم. مثلاً اگه راس بالا سمت چپ رو در نظر بگیریم این راس میتونه مقادیر ۱ تا ۶ در محور افقی و ۱ تا ۷ در محور عمودی بگیره. پس جواب میشه ۴۲=۷*۶

سوال ۷۱ میشه گزینه ۲:

اگه یه گراف پل نداشته باشه پس مسلماً همه رئوس عضو دوری هستن. پس پل نداریم. تعریف دیگه ای از یل میتونه این باشه "یالی که عضو هیچ دوری نباشه." ولی دلیل نداره گرافی که راس برشی نداره باشه پل نداشته باشه. مثال نقض برای گزینه ۲ میتونه گرافی باشه تشکیل شده از دو k3 که یک راس از هردو بخش به هم متصل شده باشه. یا هر دو گراف بدون پل که با یک یال (پل) به هم متصل شده باشن.

سوال ۷۲ میشه گزینه ۴:

جواب مسئله ضریب x به توان ۳۰ در سمت چپ خواهد بود. کسر رو بفرم [tex]\frac{x-3}{x^2-3x 2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{x}{2}}-\frac{2}{1-x}[/tex] ساده میکنیم. (باید مقادیر ثابت A,B رو که صورت کثرهای با مخرج از درجه یک هستن رو حساب کنیم.)
با این فروض که:

[tex]\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2} \frac{x}{4} ... \frac{x^n}{2^{n 1}} ...[/tex]
[tex]\frac{2}{1-x}=2 2x 2x^2 ... 2x^n ...[/tex]

ضریب x به توان ۳۰ میشه [tex]\frac{1}{2^{31}}-2[/tex]

سوال ۷۳ که نمیدونم چی میگه. طبق این فرض میگم گزینه ۲:

فرض میکنم تطابق کامل وقتیه که درجه تمام رئوس با شرط خاصی برابر بشه. در این حالت چون یک راس درجه ۱ داریم باید درجه بقیه رئوس ۱ بشه. با حذف یالهای اضافی رئوس دوطرف راس از درجه ۱ هم درجه ۱ میشن و مجبوریم یالهای اضافی رئوس مجاورشونو حذف کنیم. با این کار ۶ راس از درجه ۱ داریم و ۲ زیر گراف که هرکدوم K4 هستن. با اعمال همین شرط که درجه همه رئوس میبایست ۱ بشه، برای هر K4 دقیقاً ۳ حالت داریم. پس کل حالاتمون میشه ۹=۳*۳ (این جواب وقتی میتونه درست باشه که فرضم هم درست باشه.)

سوال ۷۴ میشه گزینه ۱:

برای اینکه شروط بازتاب و تقارن رعایت بشن باید این زوج مرتب ها یک بشن: [tex](a,d),(b,b),(c,a),(c,b),(c,e),(d,c),(d,d),(e,a),(e,b)[/tex] با اضافه کردن این ها فقط ۳جفت زوج مرتب میمونه که به ۲ به توان ۳ یعنی ۸ حالت میتونن رابطه تشکیل بدن.

سوال ۷۵ میشه گزینه ۳:

تعداد موز میتونه ۰ یا ۱۰ و یا ۲۰ باشه. مجموع تعداد انبه و آناناس هم میتونه ۰ تا ۵ باشه، با توجه به اینکه برای حالاتی که این مجموع بین ۱ تا ۴ باشه ۲ حالت داشتن یا نداشتن انبه رو داریم. اگه تعداد موز ۰ باشه و انبه و آناناس نداشته باشیم، به ۶ حالت میشه درون کیشه پرتقال و سیب ریخت. برای سایر مقادیر انبه و آناناس ابتدا باید محتوای کیسه رو با تعدادی پرتقال و سیب با درنظر گرفتن مضرب، به ۱۰ برسونیم و بعد به ۵ حالت سیب و پرتقال پر کنیم. برای زمانی که تعداد موز ۱۰ یا ۲۰ باشه، تعداد حالات فوق هرکدام ۱ و ۲ واحد کم میشه. یعنی به ازای ۲۰ موز و نداشتن انبه و آناناس، ۴ حالت برای سیب و پرتقال داریم.
جواب مسئله میشه:

[tex](6 5 4) (4*2 1)(5 4 3)=15 108=123[/tex]

با تابع مولد هم میشه حل کرد. تابع مولد این سوال میشه:

[tex]\frac{1-x^{30}}{1-x^{10}}\frac{1-x^5}{1-x}\frac{1-x^2}{1-x}\frac{1}{1-x^2}\frac{1}{1-x^5}=\frac{1-x^{30}}{1-x^{10}}\frac{1}{(1-x)^2}[/tex]

چون زیاد با تابع مولد حال نمیکنم و نمیتونم زیاد باهاش ور برم ضریب مربوط به تعداد موزهارو حذف میکنم و بعد ضریب x به توان ۳۰ و ۴۰ و ۵۰ رو برای تعداد موزهای ۲۰ و ۱۰ و ۰ محاسبه و جمع میکنم. تابعمون میشه:

[tex]\frac{1}{(1-x)^2}=(1 x x^2 ...)(1 x x^2 ...)[/tex]

ضریب x^30 از رابطه بالا میشه ۳۱ چون x^30 با ضرب عاملهای x^0 تا x^30 در مکملشون به دست میان که ۳۱ تا هستن. به همین ترتیب ضریب x به توان ۴۰ و ۵۰ هم ۴۱ و ۵۱ هستن. از جمع این سه مقدار به جوابمون یعنی ۱۲۳ میرسیم.

سوال ۷۶ میشه گزینه ۴:

اول باید رابطه رو در x به توان بزرگترین اندیس ضرب کنیم و سیکما بگیریم. خواهیم داشت:

[tex]\sum_{n=2}^{\in fty}a_nx^n-\sum_{n=2}^{\in fty}a_{n-1}x^n-\sum_{n=2}^{\in fty}a_{n-2}x^n=\sum_{n=2}^{\in fty}a_nx^n-x\sum_{n=2}^{\in fty}a_{n-1}x^{n-1}-x^2\sum_{n=2}^{\in fty}a_{n-2}x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\in fty}a_nx^n-x\sum_{n=1}^{\in fty}a_{n-1}x^{n-1}-x^2\sum_{n=2}^{\in fty}a_{n-2}x^{n-2}-a_0-a_1x a_0x[/tex]

حالا اگه [tex]\sum_{n=0}^{\in fty}a_nx^n[/tex] رو برابر g بگیریم داریم:

[tex]g(x)-xg(x)-x^2g(x)=x[/tex]
[tex]g(x)=\frac{x}{1-x-x^2}[/tex]

سوال ۷۷ میشه گزینه ۳:

تعریف میکنیم:

[tex]m_1=a-1[/tex]
[tex]m_2=b-a[/tex]
[tex]m_3=c-1-b[/tex]
[tex]m_4=d-2-(c-1)[/tex]
[tex]m_5=e-(d-2)[/tex]
[tex]m_6=9-e[/tex]

اگه توجه کنید همه mها بزرگتر یا مساوی ۰ هستن و مجموعشون میشه ۸ پس داریم:

[tex]\sum_{i=1}^6m_i=8[/tex]

پس جوابمون میشه [tex]\binom{13}{5}[/tex]

سوال ۷۸ میشه گزینه ۲:

بیشترین تعداد یال وقتیه که یک K5 و یک راس بدون یال داشته باشیم. تعداد یالهای K5 میشه ۱۰

سوال ۷۹ میشه گزینه ۲:

داریم [tex]v_0=2^1 , v_1=2^2 , v_n=\frac{v_{n-1}^3}{v_{n-2}^2}[/tex] می توان دنباله a رو که توان ۲ در دنبالست به شکل [tex]a_0=1,a_1=2,a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}[/tex] تعریف کرد. پس داریم:

[tex]a_2=4[/tex]
[tex]a_3=8[/tex]
[tex]a_4=16[/tex]
[tex]a_n=2^n[/tex]

طبق این دنباله خواهیم داشت عبارت سوال برابر است با:

[tex]2^{2^{10} 2^8 2^6 2^5 2^4}=2^{1024 256 64 32 14}=2^{1392}[/tex]

سوال ۸۰ میشه گزینه ۱:

کل حالات میشه ۲ به توان ۱۰۰۰ و تعداد حالتی که عضو p1 مینیمم این مجموعه میشه برابره با تعداد حالتی که عضو ۱۰۰۱ منهای p1 ماکزیمم بشه هست. فرض میکنیم m1 بار عضو p1 و m2 بار عضو p2 و ... مینیمم شوند. خواهیم داشت:

[tex]A=\sum_{i=1}^{1000}\frac{m_i(p_i 1001-p_i)}{2^{1000}};(\sum_{i=1}^{1000}m_i=2^{1000})[/tex]
[tex]A=\sum_{i=1}^{1000}\frac{m_i*1001}{2^{1000}}=1001[/tex]

فکر کنم سوالا تموم شدن. اون سری فکر کردم فقط ۵تاست. بعد دیدم ...