سلام
با توجه به فرض ج دو حالت داریم:
حالت اول : تعداد خودکار های قرمز صفر است. پس تعداد خودکار های ابی و مشکی باید ۱۰۰ باشد البته با لحاظ کردن دو فرض الف و ب. حال اگر تعداد ها رو به صورت زوج مرتب نشان دهیم طوری که مولفه ی اول تعداد خودکارهای ابی و مولفه ی دوم تعداد خودکار های مشکی حالت های زیر اتفاق می افتد:[tex](100,0)(98,2)(96,4)...(2,98)(0,100)[/tex] که تعداد ۵۱ تا زوج مرتب خواهیم داشت با توجه به اینکه بین ۰ تا ۱۰۰ تعداد ۵۱ عدد زوج داریم ولی [tex](100,0)[/tex] غیر مجاز است چون باید تعداد خودکار های مشکی حداقل ۱ باشد. پس در این حالت ۵۰ ترتیب خواهیم داشت.
حالت دوم : تعداد خودکارهای قرمز یک است: پس تعداد خودکارهای ابی و مشکی باید ۹۹ تا باشد.[tex](98,1)(96,3)(94,5)...(2,97)(0,99)[/tex] که تعدادشان ۵۰ تاست.
پس مجموع دو حالت می شود ۱۰۰ یا همان گزینه ی یک

A=تعداد خودکارهای مشکی
B=تعداد خودکارهای ابی

تعداد خودکارهای قرمز یا صفر است یا یک.
اگر صفر باشد [tex]A+B=100,A\ge1,B=2K_2,\: A=2K_1[/tex]
(تعداد خودکارهای ابی زوج است و تعداد خودکارهای مشکی حداقل یک.پس برای اینکه جمع اینها ۱۰۰ شود باید تعداد خودکارهای مشکی هم زوج باشد.)

[tex]2K_1+2K_2=100\: \: ,\: \: K_1\ge1\Longrightarrow\: \: K_1+K_2=50\: ,\: K_1\ge1\: \Longrightarrow\: \binom{49+2-1}{49}=50[/tex]


اگر یک باشد. [tex]A+B=99\: ,\: A\ge1,B=2K_2,\: \: A=2K_1-1[/tex]
( در این حالت تعداد خودکارهای مشکی فرد است.)

[tex]2K_1-1+2K_2=99\: \: ,\: K_1\ge1\Longrightarrow\: K_1+K_2=50\: ,\: K_1\ge1\: \Longrightarrow\binom{49+2-1}{49}=50[/tex]

جواب:۵۰+۵۰=۱۰۰