سلام
تابع مولد معمولی برای دنباله [tex]a_n[/tex] برابر با [tex]a(x)=\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n[/tex]
پس با توجه به سوال [tex]F(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}[/tex] و [tex]G(x)=xF(x^2)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{n!}[/tex] منظور از [tex]g_n[/tex] یعنی ضریب [tex]x^n[/tex] در تابع مولد [tex]G(x)[/tex] به جای n در سری از اندیس دیگری استفاده می کنیم (برای راحتی مثلا i ) کافیه طوری مقداری دهی کنیم تا [tex]x^n[/tex] تولید بشود برای اینکار باید [tex]2i+1=n\: \: \longrightarrow\: i=\frac{n-1}{2}[/tex] باشه (توجه شود که در تابع مولد اولیه در تمام مکان های که n بود برای راحتی i فرض کردیم) پس اگر به خواهیم x به توان n ایجاد کنیم باید مقدار بدست امده برای i را در تابع مولد G قرار دهیم که باعث تولید ضریب [tex]\frac{1}{(\frac{n-1}{2})!}[/tex] می شود ولی باید توجه کرد این [tex]g_n[/tex] نیست چون اگر تابع مولد G را بسط بدهیم متوجه می شویم که ضرایب توان های زوج x صفراست. پس به طور کلی میتونیم بگیم که اگر n زوج باشد [tex]g_n=0[/tex] و اگر n فرد باشد [tex]g_n=\frac{1}{(\frac{n-1}{2})!}[/tex] یا میتوانیم هر دو رو ترکیب کنیم به این صورت که برای هر n داریم[tex]g_n=\frac{1-(-1)^n}{2(\frac{n-1}{2})!}[/tex] از طرفی میتوان نشان داد که برای n های فرد [tex]\frac{n-1}{2}=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor[/tex] یعنی گزینه ۳ البته بررسی چند مقدار اولیه برای g هم می شد به گزینه ۳ رسید.