خب معادله مشخصه ی قسمت همگن همینی میشه که نوشتید. واسه قسمت ناهمگن هم همونی میشه که من نوشتم. یعنی در نهایت عبرت زیر رو داریم که ضرب این دو عبارت گفته شده هست:
$(r-3)(r+1)(r-1)^2=0$
ریشه های این معادله رو به دست میاریم. یعنی کجاها صفر میشه؟
$(r-3)(r+1)(r-1)^2=0\: \: \: \: \: \: r_1=3\: ,\: \: \: r_2=-1\: \: and\: \: \: r_3=1\: \: ,\: \: r_4=1$
خب حالا با استفاده از این ریشه ها که پیدا کردیم و با توجه به قواعدی که تابع رو به صورت ضرب ریشه ها در ثوابت مینوشتیم داریم:
$T(n)=c_13^n+c_2(-1)^n+c_3(1)^n+c_4n(1^n)=\theta(3^n)\: \: \: \: r_1=3\: ,\: \: \: r_2=-1\: \: and\: \: \: r_3=1\: \: ,\: \: r_4=1$ به شرطی که c1 صفر نباشه البته.