سلام. سوال قشنگی بود البته با راه حل مشخص. ۹ پسر قراره بین ۵ دختر قرار بگیرن. در صورت سوال گفته شده ترتیب قرار گرفتن دخترها ثابته. یعنی جایگشتی ندارن. فرض میکنیم پسرها هم جایگشت ندارن. اگه جایگشت داشتند باید جواب نهایی رو در !۹ ضرب کنیم.

تعریف میکنیم Xi به ازای i برابر ۱ تا ۵ برابر با تعداد پسرهای قبل از دختر iام و بعد از دختر i-1ام. X6 هم تعداد پسرهای بعد از دختر پنجم. پس داریم [tex]\sum_{i=1}^6X_i=9[/tex]. حالا باید تعداد جواب های این معادله رو به ازای محدودیت هامون بدست بیاریم.
طبق فرض مسئله X2 بزرگتر مساوی ۳ و X5 برابر ۰ یا ۱ میشه. راه ساده اینه که یکبار x5 رو برابر ۰ و یکبار ۱ بگیریم. یه تغییر متغیر میدیم:

به ازای دو مقدار X5 باید مجموع تعداد حالات مقادیر مثبت دو سیکمای زیر محاسبه بشه:


جواب میشه [tex]\binom{10}{4} \binom{9}{4}[/tex].