سلام. من برای حل این سوال یه راه استفاده میکنم که شاید از نظر بعضی ها زیاد معقول نباشه.
اگه قرار باشه پول شخص از a به ۴a برشه مسلماً اول باید پولش به ۲a برسه. احتمال رسیدن پول شخص از a به ۲a برابر احتمال رسیدن پول شخص از a به صفره. (چون شانس برد و باخت در هر آزمایش برابره.) پس احتمال رسیدن پول شخص به ۲a میشه ۵۰ درصد. احتمال رسیدن پول شخص از ۲a به ۴a هم میشه ۵۰ درصد. احتمال رسیدن پول شخص از a به ۴a میشه احتمال رسیدن پول شخص از a به ۲a ضربدر احتمال رسیدن پول شخص از ۲a به ۴a یعنی ۲۵ درصد. پس احتمال باخت شخص میشه ۷۵ درصد. این فرض هارو دارم:

$P(g(0,n,M))=0;n\geq 1$
$P(g(n,n,M))=1;n\geq 1$
$P(g(n,2n,M))=\frac {1}{2}$
$P(g(m,n,M))=P(g(m,i,M))*P(g(i,n,M));m<i<n|m>i>n$
$P(g(n,2n,M))=P(g(n,0,M)$

یه جورایی یه رابطه بازگشتیه.

چرا شما نقیض احتمال رسیدن به ۴a رو برابر با از دست دادن پول گرفتین؟!!!

فرض کنید که ۲a پول دارید. احتمال رسیدن پولتون به ۰ و ۴a با فرض برابری احتمال افزایش و کاهش اعتبار برابره.

چرا احتمال رسیدن پول شخص به ۴a را ۵۰ درصد نگرفته اید؟ در سوال که فقط گفته یک تومان یک تومان به پولش اضافه می شود.

احتمال اضافه شدن پول یه شخص به مقدار t برابر احتمال ازدست دادن مقدار t از پولشه. احتمال از دست دادن پولش با احتمال دوبرابر شدن پولش برابر میشه. چون این افزایش و کاهش تا زمانی تکرار میشه که یکی از این دو حالت اتفاق بیافته، پس احتمال هردو ۱/۲ میشه.