سلام. برای سوالی که پرسیدین تابع بشکل $G(x)=\frac{x^3}{3!}\frac{x^2}{2!}x$ باید باشه. چون تمام حروف فقط باید به همون تعداد مشخص شده انتخاب بشن. یعنی دقیقاً ۳تا A و ۲تا P و یک Y. تابع مولدی هم که نوشته شده "میشه گفت" برای حالات انتخاب‌های متمایز استفاده میشه. حالا شما ۶ شیئ متمایز دارین که میخاین اونارو بچینین و به !۶ روش میشه این کارو کرد. پس باید این عدد رو توی ضریب x به توان ۶ لحاظ کرد. جوابشم که میشه $\frac{6!}{3!2!}$
اگه قرار بود ۵ حرف از این ۶ حرف انتخاب بشه باید ضریب x به توان ۵ برروی !۵ رو حساب میکریم و البته تابع مولدشو عوض میکردیم. یعنی $G(x)=(\frac{x^2}{2!} \frac{x^3}{3!})(x \frac{x^2}{2!})(1 x)$
وقتی از $\frac{x^3}{3!}$ استفاده میکنین، مخرج کثر حالات مشابه رو ازبین میبره و میتونین برای مرتب کردن رشته اونارو متفاوت درنظر بگیریم.

چون تابع مولد تعداد حالات مختلف انتخاب این تعداد شیئ رو به ما میده (توی این مثال ۶ و توی مثال کتاب ۴) ما فقط کافیه این اشیا رو کنار هم بچینیم. ۶ شی رو میشه به !۶ شکل مرتب کرد. شی اول ۶ حالت، شی دوم ۵ حالت و الی آخر.
وقتی قراره ۵ حرف از این ۶ حرف انتخاب کنیم، نمیشه هیچ P انتخاب نکرد. چون اگه این حرف رو نداشته باشیم با سه A و یک Y نمیشه رشته ۵حرفی تشکیل داد. بهتره یکجور دیگه توضیح بدم. اگه قرار باشه یکی از ۶ حرف از حروفمون رو جدا کنیم و با بقیه ۵ حرف باقی مونده رشته بسازیم، باید فقط یکی از تعداد اشیامونو کم کنیم. یعنی از یکی از این سه دسته حرف، فقط یکی کم میشه؛ و چون ضریب x به توان ۵ رو بدست میاریم دقیقاً ۵ شی انتخاب میشه.

فرض کنید ۲۵ حرف A و ۱۵ حرف B و ۱۲ حرف C و ۳ حرف D داریم و میخاهیم تابع مولد برای رشته های ۵۰ حرفی رو بسازیم. (یعنی فقط از ۵ حرف صرف نظر کنیم.) ممکنه این ۵ حرف کم شده همه از A یا همه از C و یا تعدادی از هر حرف باشه. ولی نمیشه از این ۳ تا D از ۵تا صرفنظر کرد. پس تابع مولدمون میشه: (پرانتز سمت چپ برای A و بقیه به ترتیب هستن.)


توجه کنید که دامنه تغییر توانها همون دامنه تغییر تعداد هر حرفه.

---

ضرب رو میشه به این شکل نوشت:

$(1 x)(1 x^2)(1 x^3)(1 x^4)(1 x^5)(1 x^6)$

میخاد بگه عبارت فوق چندتا x به توان ۶ میتونه تولید کنه. حالاتی رو که x به توان ۶ تولید میکنه رو مینویسم.

$(1)(1)(1)(1)(1)(x^6)$
$(x)(1)(1)(1)(x^5)(1)$
$(1)(x^2)(1)(x^4)(1)(1)$
$(x)(x^2)(x^3)(1)(1)(1)$

حالت دیگه ای وجود نداره. اگه میخاین کل ضربارو انجام بدین ۶۴ تا عبارت از x میشه که اگه تعداد x به توان ۶هارو بشمارید میشه ۴ تا. همین ۴ تا عامل بالا میتونن x به توان ۶ رو تشکیل بدن.