چون اگه ۱ و ۲ توی کلاس هم ارزی ۴ باشن مسلماً توی کلاس هم ارزی ۱ اعداد ۲ و ۴ هستن. طبیعیه. رابطمون یه رابطه هم ارزیه و اگه داشته باشیم ۴R1 و ۴R2 حتماً ۱R4 و ۱R2 رو داریم و به همین شکل برای کلاس هم ارزی ۲ مجموعه ای (حداقل) شامل ۱ و ۴ داریم. (بر اساس اصل بازتاب و تعدی) پس برای شمارش تعداد کلاس های هم ارزی میشه این ۳ کلاس هم ارزی رو یکی درنظر گرفت.
حالا میخاهیم تعداد کلاسهای هم ارزی روی مجموعه ۵ عضوی بدون هیچ شرطی رو حساب کنیم. (۳ عضو ۱ و ۲ و ۴ یکی درنظر گرفته شدند.) یک راه سخت و مفهوم و یک راه ساده و نامفهوم سراغ دارم.
میدونیم کلاس هم ارزیه پس اگه a با b رابطه داشته باشه برعکسش هم هست. پس باید مجموعه ۵عضویمونو به تمام حالات ممکن به حداقل ۱ و حداکثر ۵ زیرمجموعه که اجتماعشون مجموعه ۱ تا ۵ باشه و هیچ دو مجموعه ای باهم اشتراک نداشته باشن بشکنیم. ولی توجه کنیم که اعضامون متفاوت و مجموعه هامون مشابه هستن. راه حل هامون تا اینجاش مشترک بود. ولی اینجا با دو راه جداگانه بررسی میشن:

راه سخت تر:

حالتهای مختلف افراز و تعدادشونو میشماریم:

فقط یک مجموعه ۵ عضوی داشته باشیم:


یک مجموعه ۴ عضوی و یک ۱ عضوی:


یکی ۳ عضوی و یکی ۲ عضوی:


یکی ۳ عضوی و ۲تا تک عضوی تقسیم بر !۲ بخاطر مشابه بودن دو مجموعه تک عضویه. این تقسیم برای موارد مشابه بعدی نیز تکرار خواهد شد.)


دوتا ۲ عضوی و یکی تک عضوی:


یکی دو عضوی و ۳تا تکی عضوی:


۵تا تک عضوی:


جواب جمع این حالاته که همون ۵۲ میشه.

راه راحت تر:

استفاده از مثلت استرلینگ. چون مهره‌ها متفاوت و ظروف مشابه هستن. یعنی جمع اعضای سطر پنجم که داریم:


توی حالت قبل هم همین استرلینگ رو شمردیم. فقط باید حالاتی رو که تعداد مجموعه هامون برابرن رو با هم جمع کنیم.