سلام
برای مجموعه $\{1,2,..,n\}$ تعداد $2^n-1$ زیر مجموعه ی ناتهی داریم که هر زیر محموعه یک min و یک max دارد که اگر برای مجموعه i ام مینیمم را با $m_i$ و ماکزیمم را با $M_i$ نشان دهیم مجموع تمام m+M برای تمام زیر مجموعه ها برابر با $\sum^{2^n-1}_{i=1}(m_i+M_i)=\sum m_i+\sum M_i$ پس میانگین برابر با $\frac{(\sum m_i+\sum M_i)}{2^n-1}$
پس کافیه مینیمم و ماکزیمم تمام زیر مجموعه های ناتهی را جدا جدا پیدا کرده و با هم جمع کنیم
برای عدد ۱: اگر ۱ در زیر مجموعه ای باشد حتما min است تعداد این زیر مجموعه ها $2^{n-1}$ واز طرفی درزیرمجموعه$\{1\}$ ماکزیمم هم هست
برای عدد ۲: در $2^{n-2}$ زیر مجموعه ۲ می تواند min باشد چرا که یک نباید باشد و خودش هم حتما باید عضو مجموعه باشد و n-2 عضو دیگر میتواند باشند یا نباشند. از طرفی ۲ می تواند در دو زیر مجموعه$\{2\}$ و $\{1,2\}$ ماکزیمم باشد
برای عدد ۳: در $2^{n-3}$ زیرمحموعه ۳ میتواند مینیمم باشد ۱و۲ نباید باشد و خودش هم حتما باید باشد و n-3 عضو دیگر دو حالت دارند یا هستن یا نه و از طرفی ۳ در $2^2$ مجموعه max است یعنی۱و۲ هر کدام دو حالت دارند
اگر توجه کنیم الگو خاصی برای min ها و max ها وجود داردپس اگر مینیمم ها را جمع کنیم خواهیم داشت$2^{n-1}(1)+2^{n-2}(2)+2^{n-3}(3)+...+2(n-1)+(n)$ که داخل پرانتز min و ضریب پرانتر تعداد زیر مجموعه های که ان عدد در ان min است را نشان میدهد.برای max هم می توانیم همین کار را انتجام دهیم$(1)+2(2)+2^2(3)+...+2^{n-2}(n-1)+2^{n-1}(n)$
;کافیه این دو را جمع و بر تعداد زیر مجموعه های غیر تهی تقسیم کنیم
$\frac{(2^{n-1}(1)+2^{n-2}(2)+...+2(n-1)+(n)+(1)+2(2)+2^2(3)+...+2^{n-2}(n-1)+2^{n-1}(n))}{2^n-1}=\frac{(n+1)(1+2+2^2+...+2^{n-1})}{2^n-1}=n+1$
پس به ازای n=1000 مقدار ۱۰۰۱ بدست می اید
گزینه ی۱