هر زیر مجموعه ناتهی [tex]\{1,2,...,1000\}[/tex] را در نظر میگیریم و عضو مینیمم ان را m و عضو ماکزیمم ان را M می نامیم.میانگین همه (M+m) کدام است؟
۱)۱۰۰۱
۲)۱۰۰۰
۳)۱۰۰۲
۴)۱۰۰۳
جواب:گزینه یک
سلام
برای مجموعه [tex]\{1,2,..,n\}[/tex] تعداد [tex]2^n-1[/tex] زیر مجموعه ی ناتهی داریم که هر زیر محموعه یک min و یک max دارد که اگر برای مجموعه i ام مینیمم را با [tex]m_i[/tex] و ماکزیمم را با [tex]M_i[/tex] نشان دهیم مجموع تمام m+M برای تمام زیر مجموعه ها برابر با [tex]\sum^{2^n-1}_{i=1}(m_i+M_i)=\sum m_i+\sum M_i[/tex] پس میانگین برابر با [tex]\frac{(\sum m_i+\sum M_i)}{2^n-1}[/tex]
پس کافیه مینیمم و ماکزیمم تمام زیر مجموعه های ناتهی را جدا جدا پیدا کرده و با هم جمع کنیم
برای عدد ۱: اگر ۱ در زیر مجموعه ای باشد حتما min است تعداد این زیر مجموعه ها [tex]2^{n-1}[/tex] واز طرفی درزیرمجموعه[tex]\{1\}[/tex] ماکزیمم هم هست
برای عدد ۲: در [tex]2^{n-2}[/tex] زیر مجموعه ۲ می تواند min باشد چرا که یک نباید باشد و خودش هم حتما باید عضو مجموعه باشد و n-2 عضو دیگر میتواند باشند یا نباشند. از طرفی ۲ می تواند در دو زیر مجموعه[tex]\{2\}[/tex] و [tex]\{1,2\}[/tex] ماکزیمم باشد
برای عدد ۳: در [tex]2^{n-3}[/tex] زیرمحموعه ۳ میتواند مینیمم باشد ۱و۲ نباید باشد و خودش هم حتما باید باشد و n-3 عضو دیگر دو حالت دارند یا هستن یا نه و از طرفی ۳ در [tex]2^2[/tex] مجموعه max است یعنی۱و۲ هر کدام دو حالت دارند
اگر توجه کنیم الگو خاصی برای min ها و max ها وجود داردپس اگر مینیمم ها را جمع کنیم خواهیم داشت[tex]2^{n-1}(1)+2^{n-2}(2)+2^{n-3}(3)+...+2(n-1)+(n)[/tex] که داخل پرانتز min و ضریب پرانتر تعداد زیر مجموعه های که ان عدد در ان min است را نشان میدهد.برای max هم می توانیم همین کار را انتجام دهیم[tex](1)+2(2)+2^2(3)+...+2^{n-2}(n-1)+2^{n-1}(n)[/tex]
;کافیه این دو را جمع و بر تعداد زیر مجموعه های غیر تهی تقسیم کنیم
[tex]\frac{(2^{n-1}(1)+2^{n-2}(2)+...+2(n-1)+(n)+(1)+2(2)+2^2(3)+...+2^{n-2}(n-1)+2^{n-1}(n))}{2^n-1}=\frac{(n+1)(1+2+2^2+...+2^{n-1})}{2^n-1}=n+1[/tex]
پس به ازای n=1000 مقدار ۱۰۰۱ بدست می اید
گزینه ی۱