سلام
تابع مولد معمولی برای دنباله $a_n$ برابر با $a(x)=\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n$
پس با توجه به سوال $F(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}$ و $G(x)=xF(x^2)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{n!}$ منظور از $g_n$ یعنی ضریب $x^n$ در تابع مولد $G(x)$ به جای n در سری از اندیس دیگری استفاده می کنیم (برای راحتی مثلا i ) کافیه طوری مقداری دهی کنیم تا $x^n$ تولید بشود برای اینکار باید $2i+1=n\: \: \longrightarrow\: i=\frac{n-1}{2}$ باشه (توجه شود که در تابع مولد اولیه در تمام مکان های که n بود برای راحتی i فرض کردیم) پس اگر به خواهیم x به توان n ایجاد کنیم باید مقدار بدست امده برای i را در تابع مولد G قرار دهیم که باعث تولید ضریب $\frac{1}{(\frac{n-1}{2})!}$ می شود ولی باید توجه کرد این $g_n$ نیست چون اگر تابع مولد G را بسط بدهیم متوجه می شویم که ضرایب توان های زوج x صفراست. پس به طور کلی میتونیم بگیم که اگر n زوج باشد $g_n=0$ و اگر n فرد باشد $g_n=\frac{1}{(\frac{n-1}{2})!}$ یا میتوانیم هر دو رو ترکیب کنیم به این صورت که برای هر n داریم$g_n=\frac{1-(-1)^n}{2(\frac{n-1}{2})!}$ از طرفی میتوان نشان داد که برای n های فرد $\frac{n-1}{2}=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ یعنی گزینه ۳ البته بررسی چند مقدار اولیه برای g هم می شد به گزینه ۳ رسید.