سلام

اگر از تغییر متغیر [tex]X_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] استفاده کنیم خواهیم داشت.
[tex]X_n=4-\frac{3}{X_{n-1}}\: \: \longrightarrow\: \: \frac{a_{n+1}}{a_n}=4-\frac{3}{\frac{a_n}{a_{n-1}}}=4-\frac{3a_{n-1}}{a_n}=\frac{4a_n-3a_{n-1}}{a_n}\: \longrightarrow\: a_{n+1}=4a_n-3a_{n-1}\longrightarrow\: a_{n+1}-4a_n+3a_{n-1}=0[/tex]
رابطه رو حل می کنیم [tex]r^2-4r+3=0\: \longrightarrow\: (r-3)(r-1)=0[/tex]
پس [tex]a_n=\alpha3^n+\beta[/tex]
با توجه به مقدار اولیه[tex]X_1=4[/tex]
[tex]X_1=\frac{a_2}{a_1}=4\: \: \: \longrightarrow\: \: \frac{9\alpha+\beta}{3\alpha+\beta}=4\: \: \longrightarrow\alpha=-\beta\: \: \longrightarrow\: \frac{9\alpha-\alpha}{3\alpha-\alpha}=4\: \longrightarrow\alpha=1\: ,\: \beta=-1[/tex]
پس [tex]a_n=3^n-1[/tex] و اگر در تغییر متغیر مقدار را قرار دهیم داریم [tex]X_n=\frac{3^{n+1}-1}{3^n-1}[/tex]
[tex]X_{10}=\frac{3^{11}-1}{3^{10}-1}[/tex] گزینه ی یک