سوال مورد نظر پیوست شده است
ممنون از دوستان
سلام. وقت بخیر.
این سوال رو میشه با استقرا حل کرد. اگه چند جمله رو بسط بدید متوجه میشید که دنباله به سمت ۳ همگرا میشه. باید دنبال رابطه ای باشید که سری هندسی همگرا به ۳ رو نشون بده و با استقرا ثابت کنید همون میشه. یه مقدار دردسر داره و باید ارتباط خوبی با ریاضی عمومی داشته باشید. برای همین تو کنکور علوم کامپیوتر اومده.
سلام
اگر از تغییر متغیر [tex]X_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] استفاده کنیم خواهیم داشت.
[tex]X_n=4-\frac{3}{X_{n-1}}\: \: \longrightarrow\: \: \frac{a_{n+1}}{a_n}=4-\frac{3}{\frac{a_n}{a_{n-1}}}=4-\frac{3a_{n-1}}{a_n}=\frac{4a_n-3a_{n-1}}{a_n}\: \longrightarrow\: a_{n+1}=4a_n-3a_{n-1}\longrightarrow\: a_{n+1}-4a_n+3a_{n-1}=0[/tex]
رابطه رو حل می کنیم [tex]r^2-4r+3=0\: \longrightarrow\: (r-3)(r-1)=0[/tex]
پس [tex]a_n=\alpha3^n+\beta[/tex]
با توجه به مقدار اولیه[tex]X_1=4[/tex]
[tex]X_1=\frac{a_2}{a_1}=4\: \: \: \longrightarrow\: \: \frac{9\alpha+\beta}{3\alpha+\beta}=4\: \: \longrightarrow\alpha=-\beta\: \: \longrightarrow\: \frac{9\alpha-\alpha}{3\alpha-\alpha}=4\: \longrightarrow\alpha=1\: ,\: \beta=-1[/tex]
پس [tex]a_n=3^n-1[/tex] و اگر در تغییر متغیر مقدار را قرار دهیم داریم [tex]X_n=\frac{3^{n+1}-1}{3^n-1}[/tex]
[tex]X_{10}=\frac{3^{11}-1}{3^{10}-1}[/tex] گزینه ی یک