سلام
رابطه بازگشتی عدد کاتالان برابراست با [tex]C_n=\sum^n_{k=1}C_{k-1}C_{n-k}[/tex] در مجموع اگر از حدود یک واحد کم شود باید به اندیس در جلوی مجموع یک واحد اضافه شود وبرعکس حال اگر از حدود یک واحد کم کنیم داریم [tex]C_n=\sum^{n-1}_{k=0}C_kC_{n-k-1}[/tex] گاها به جای جمله nام جمله n+1 ام را میگیرند پس کافی است در رابطه اولیه به جای n مقدار n+1 قرار دهیم که داریم [tex]C_{n+1}=\sum^{n+1}_{k=1}C_{k-1}C_{n+1-k}[/tex] حال اگر دوباره از حدود یک واحد کم و به اندیس یک واحد اضافه داریم [tex]C_{n+1}=\sum^n_{k=0}C_kC_{n-k}[/tex] و البته [tex]C_0=1[/tex] و [tex]C_1=1[/tex] از بین رابطه های که شما نوشتید فقط [tex]C_n=\sum^{n-1}_{k=1}C_kC_{n-k}[/tex] درست نیست کافیه [tex]C_2[/tex] را محاسبه کنید که این رابطه مقدار ۱ می دهد در حالی که باید ۲ بشه.