سلام.
$\sum^n_{i=1}\log i=\log1+\log2+\log3+...+\log n=\log\: 1\times2\times3\times...\times n=log(n!) = n\log n$

با انتگرال: $\sum^n_{i=1}\log i\: \approx\: \int^n_{i=1}\log i=ilogi-i\: \mid_{i=1}^{i=n}=nlogn-n-(1\log1-1)=\theta(n\log n)$

سلام. وقت بخیر.

$\sum_{i=1}^n\log i=\log1+\log 2+...+\log n$

یه قاعده از لگاریتم به شکل زیره:

$\log ab=\log a+\log b$

طبق این رابطه با فرض اینکه $a=\frac{n}{2}$ و $b=2$ میتونیم بنویسیم $\log\frac{n}{2}=\log n-\log 2$ که لگاریتم عدد ۲ به ازای مبنای ۲ برابر ۱ و به ازای مبنای عدد نپر کوچکتر از ۱ میشه. تو اون سیگمای بالایی هم میدونیم n/2 از جملات بزرگتر از $\log\frac{n}{2}$ هستن. پس این جملات بزرگتر مساوی $\log n -1$ هستن. همه جملات هم کوچکتر مساوی $\log n$ هستن. پس مرتبه زمانی این مجموع رو میشه $\theta(n\log n)$ دونست.