سلام
طرفین رو بر [tex]n![/tex] تقسیم میکنیم
حالا رابطه به این شکل در میاد:[tex]\frac{a_n}{n!} \frac{na_{n-1}}{n!}=\frac{2n!}{n!}[/tex]

خب حالا رابطه رو ساده میکنیم:[tex]\frac{a_n}{n!} \frac{a_{n-1}}{(n-1)!}=2[/tex]

حالا یه تغییر اسم به این صورت انجام میدیم:[tex]\frac{a_n}{n!}=b_n[/tex]

پس رابطه یه این شکل درمیاد:[tex]b_n b_{n-1}=2[/tex]
خب دیگه بقیش راحته کافیه حالا معادلشو تشکیل بدیم و برای جواب معادله هم داریم:
[tex](x-1)(x 1)=0[/tex]
خب دوتا ریشه مضاعف داریم پس جواب به صورت [tex]b_n=\alpha(r_1)^n \beta(r_2)^n[/tex] هستش

الان شرط اولیه رو جایگذاری میکنیم:
[tex]b_0=\alpha(1)^0 \beta(-1)^0\rightarrow1=\alpha \beta[/tex]
اگه توی معادله اصلی ۱ رو جایگذاری کنیم مقدار [tex]b_1=1[/tex] رو هم میتونیم به دست بیاریم
پس داریم:[tex]b_1=\alpha(1)^1 \beta(-1)^1\rightarrow1=\alpha-\beta[/tex]

از حل دستگاه داریم [tex]b_1=1,b_2=0[/tex] پس داریم:
[tex]b_n=\alpha(r_1)^n \beta(r_2)^n=1(1)^n 0=1[/tex]

از طرفی هم داشتیم : [tex]b_n=\frac{a_n}{n!}\rightarrow a_n=n![/tex]

اینم حل معادلش:
ببینید معادله ناهمگن هستش و ما ابتدا قسمت همگن رو حل میکنیم:
[tex]b_n b_{n-1}\rightarrow r 1=0[/tex]
پس قسمت همگن [tex]r 1[/tex]

قسمت غیرهمگن هم فقط یه ۲ هستش که این ۲ به شکل [tex]2*1^n[/tex] هستش که ریشه میشه [tex](r-1)^1[/tex]

پس کلا میشه [tex](r-1)(r 1)=0[/tex]
امیدوارم متوجه شده باشید

(۱۶ دى ۱۳۹۳ ۰۵:۴۱ ب.ظ)miladcr7 نوشته شده توسط:  ببینید معادله ناهمگن هستش و ما ابتدا قسمت همگن رو حل میکنیم:
[tex]b_n b_{n-1}\rightarrow r 1=0[/tex]
پس قسمت همگن [tex]r 1[/tex]

قسمت غیرهمگن هم فقط یه ۲ هستش که این ۲ به شکل [tex]2*1^n[/tex] هستش که ریشه میشه [tex](r-1)^1[/tex]

پس کلا میشه [tex](r-1)(r 1)=0[/tex]

آهان، من کامل همگن حسابش کردم.
ممنونم.