خب اینم حل شدش جوابشو میگم کسی خواست استفاده کنه
ارتفاع درخت که همون تعریفیه که میدونیم و پهنا رو هم اینطور تعریف کردیم:بیشترین تعداد گره هایی که در یک سطح قرار میگیرن
حالا بریم سراغ گزینه ها
گزینه اول: ارتفاع درخت $[tex]\theta(n)$[/tex] و پهنا هم ۱
فرض کنید $[tex]n$[/tex] نود داریم حالا یه درخت مورب رسم کنید میبینید ارتفاعش $[tex]\theta(n)$[/tex] و پهناش هم ۱(تو هر سطح فقط یک نود داریم)

گزینه دوم: ارتفاع درخت $\theta(Logn)$ و پهنا هم $[tex]\theta(n)$[/tex]
اگه با $[tex]n$[/tex] نود یه درخت پر رسم کنید میبینید که ارتفاع $Logn$ هستش و بیشترین پهنا رو هم توی سطح اخر داریم(تعداد نود ها در سطح اخر $\lceil\frac{n}{2}\rceil$ هستش ) که از مرتبه $[tex]\theta(n)$[/tex] هستش

گزینه سوم: ارتفاع درخت $[tex]\theta(n)$[/tex] و پهنا هم $[tex]\theta(n)$[/tex]

فرض میکنیم $[tex]n$[/tex] تا نود داریم حالا با $\frac{n}{2}$ این نود ها یه درخت کامل رسم میکنیم
در حالت کلی درخت کامل با $[tex]n$[/tex] تا نود تو سطح اخرش حداکثر $\frac{n}{2}$ داره
و در سطح ماقبل اخر حداقل $\frac{n}{4}$ نود دارد.
حالا ما با $\frac{n}{2}$ نود درخت کامل کشیدیم پس در سطح اخر حداکثر $\frac{n}{4}$ نود و در سطح ماقبل اخر حداقل $\frac{n}{8}$ نود داریم که با این وجود مرتبه پهنا $[tex]\theta(n)$[/tex] میشه.ارتفاع هم تا الان $Logn$ هستش(چون درخت کامل هست)حالا با $\frac{n}{2}$ نود باقیمونده در سطح اخر یه درخت مورب رسم میکنیم که پهناش یک میشه و ارتفاعشم $[tex]\theta(n)$[/tex](تو گزینه یک اینو ثابت کردیم)پس الان پهنا همون $[tex]\theta(n)$[/tex] میشه و ارتفاع هم که از دو قسمت تشکیل شده:
$\theta(n) \theta(Logn)=c_1n c_2Logn=\theta(n)$

گزینه چهارم: $\theta(Logn)$ و پهنا هم $\theta(\sqrt{n})$

فرض میکنیم که $[tex]n$[/tex] تا نود داریم ابتدا با این $[tex]n$[/tex] تا نود درختی با پهنای $\theta(\sqrt{n})$ میسازیم پس ما تا الان درختی با پهنای $\theta(\sqrt{n})$(ماکزیمم پهنا) ساختیم و در سطوح بعدی هم در هر سطحی ماکزیمم همین تعداد رو را میتونیم داشته باشیم(چون اگه بیشتر داشته باشیم از مقدار ماکزیمم پهنا عبور کردیم و این اشتباهه)ما برای ساختن درختی با پهنای $\theta(\sqrt{n})$ تقریبا $2\sqrt{n}$ از کل نودها رو مصرف کردیم(مثلا ۱۶ یا ۹ یا ۳۲ تا نود رو در نظر بگیرید و امتحان کنید میبینید همین مقدار میشه تقریبا) پس حالا $n-2\sqrt{n}$ از نودها باقیمونده و در سطوح بعدی هم ما ماکزیمم $\sqrt{n}$ تا نود داریم پس از تقسیم $\frac{n-2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ تعداد سطوح به دست میاد:
$\frac{n-2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\frac{(n\ast\sqrt{n})-(2\sqrt{n}\ast\sqrt{n})}{(\sqrt{n}\ast\sqrt{n})}=\frac{(n\sqrt{n})-2n}{n}=\sqrt{n}-2=\theta(\sqrt{n})$

که ارتفاع هم از مرتبه $\theta(\sqrt{n})$ شد

(توجه داشته باشید تو قسمت چهارم به این دلیل اومدیم توی سطوح بعدی ماکزیمم نود رو گذاشتیم چون میخوایم ارتفاح حداقل شه مثلا اگه مورب بچینیم ارتفاع درخت $[tex]n$[/tex] میشه یا اگه کمتر از ماکزیمم بذاریم ارتفاع به سمت $[tex]n$[/tex] میره و ما نمیخوایم این اتفاق بیفته و ارتفاع باید مینیمم شه)


پس قسمت اول و دوم و سوم درسته ولی قسمت چهارم دیدیم که نمیشه
پس جواب سوال گزینه ۳ میشه