خب اینم حل شدش جوابشو میگم کسی خواست استفاده کنه
ارتفاع درخت که همون تعریفیه که میدونیم و پهنا رو هم اینطور تعریف کردیم:بیشترین تعداد گره هایی که در یک سطح قرار میگیرن
حالا بریم سراغ گزینه ها
گزینه اول: ارتفاع درخت [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex] و پهنا هم ۱
فرض کنید [tex][tex]n[/tex][/tex] نود داریم حالا یه درخت مورب رسم کنید میبینید ارتفاعش [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex] و پهناش هم ۱(تو هر سطح فقط یک نود داریم)

گزینه دوم: ارتفاع درخت [tex]\theta(Logn)[/tex] و پهنا هم [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex]
اگه با [tex][tex]n[/tex][/tex] نود یه درخت پر رسم کنید میبینید که ارتفاع [tex]Logn[/tex] هستش و بیشترین پهنا رو هم توی سطح اخر داریم(تعداد نود ها در سطح اخر [tex]\lceil\frac{n}{2}\rceil[/tex] هستش ) که از مرتبه [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex] هستش

گزینه سوم: ارتفاع درخت [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex] و پهنا هم [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex]

فرض میکنیم [tex][tex]n[/tex][/tex] تا نود داریم حالا با [tex]\frac{n}{2}[/tex] این نود ها یه درخت کامل رسم میکنیم
در حالت کلی درخت کامل با [tex][tex]n[/tex][/tex] تا نود تو سطح اخرش حداکثر [tex]\frac{n}{2}[/tex] داره
و در سطح ماقبل اخر حداقل [tex]\frac{n}{4}[/tex] نود دارد.
حالا ما با [tex]\frac{n}{2}[/tex] نود درخت کامل کشیدیم پس در سطح اخر حداکثر [tex]\frac{n}{4}[/tex] نود و در سطح ماقبل اخر حداقل [tex]\frac{n}{8}[/tex] نود داریم که با این وجود مرتبه پهنا [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex] میشه.ارتفاع هم تا الان [tex]Logn[/tex] هستش(چون درخت کامل هست)حالا با [tex]\frac{n}{2}[/tex] نود باقیمونده در سطح اخر یه درخت مورب رسم میکنیم که پهناش یک میشه و ارتفاعشم [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex](تو گزینه یک اینو ثابت کردیم)پس الان پهنا همون [tex][tex]\theta(n)[/tex][/tex] میشه و ارتفاع هم که از دو قسمت تشکیل شده:
[tex]\theta(n) \theta(Logn)=c_1n c_2Logn=\theta(n)[/tex]

گزینه چهارم: [tex]\theta(Logn)[/tex] و پهنا هم [tex]\theta(\sqrt{n})[/tex]

فرض میکنیم که [tex][tex]n[/tex][/tex] تا نود داریم ابتدا با این [tex][tex]n[/tex][/tex] تا نود درختی با پهنای [tex]\theta(\sqrt{n})[/tex] میسازیم پس ما تا الان درختی با پهنای [tex]\theta(\sqrt{n})[/tex](ماکزیمم پهنا) ساختیم و در سطوح بعدی هم در هر سطحی ماکزیمم همین تعداد رو را میتونیم داشته باشیم(چون اگه بیشتر داشته باشیم از مقدار ماکزیمم پهنا عبور کردیم و این اشتباهه)ما برای ساختن درختی با پهنای [tex]\theta(\sqrt{n})[/tex] تقریبا [tex]2\sqrt{n}[/tex] از کل نودها رو مصرف کردیم(مثلا ۱۶ یا ۹ یا ۳۲ تا نود رو در نظر بگیرید و امتحان کنید میبینید همین مقدار میشه تقریبا) پس حالا [tex]n-2\sqrt{n}[/tex] از نودها باقیمونده و در سطوح بعدی هم ما ماکزیمم [tex]\sqrt{n}[/tex] تا نود داریم پس از تقسیم [tex]\frac{n-2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}[/tex] تعداد سطوح به دست میاد:
[tex]\frac{n-2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\frac{(n\ast\sqrt{n})-(2\sqrt{n}\ast\sqrt{n})}{(\sqrt{n}\ast\sqrt{n})}=\frac{(n\sqrt{n})-2n}{n}=\sqrt{n}-2=\theta(\sqrt{n})[/tex]

که ارتفاع هم از مرتبه [tex]\theta(\sqrt{n})[/tex] شد

(توجه داشته باشید تو قسمت چهارم به این دلیل اومدیم توی سطوح بعدی ماکزیمم نود رو گذاشتیم چون میخوایم ارتفاح حداقل شه مثلا اگه مورب بچینیم ارتفاع درخت [tex][tex]n[/tex][/tex] میشه یا اگه کمتر از ماکزیمم بذاریم ارتفاع به سمت [tex][tex]n[/tex][/tex] میره و ما نمیخوایم این اتفاق بیفته و ارتفاع باید مینیمم شه)


پس قسمت اول و دوم و سوم درسته ولی قسمت چهارم دیدیم که نمیشه
پس جواب سوال گزینه ۳ میشه