سلام
باید هر کدام از عبارات داخل پرانتز را به یه توانی برسونیم مثلا x را به توان n1 می رسونیم و -۲y را به توان n2 و [tex]3z^{-1}[/tex] رو به توان د۳
و جمع این n1+n2+n3 باید دقیقا چهار باشه چون معنای این عبارت اینه که این پرانتز و چهار بار در خودش ضرب کنیم.
حالا می خواهیم بدونیم در جملاتی که از چهار بار ضرب کردن این پرانتز در خودش به دست میاد چند جمله به فرم [tex]x^1y^1z^{-2}[/tex] هستند مسلمه که وقتی میگه ضریب این عبارت چنده به این معنیه که این عبارت چند بار در حاصل ضرب تکرار شده پس مسئله یه جور شمارشه
پس ما باید حالت هایی رو حساب کنیم که وقتی می خواهیم عبارت داخل پرانتز را به توان برسونیم جوری به توان برسونیم که به فرم خواسته شده در بیان
ما باید n1,n2,n3 را جوری انتخاب کنیم که جمعشان ۴ باشد از طرفی [tex](x^1)^{n1}=?x^1[/tex] پس n1=1
, [tex](-2y)^{n2}=?y^1[/tex] پس n2=1
, [tex](3z^{-1})^{n3}=?y^{-2}[/tex] پس n3=2
ما می بایست این ۴ واحد رو تقسیم می کردیم بین n1, n2, n3 که به فرم دلخواه در بیان حالا فهمیدیم چه جوری باید این چهار واحدو تقسیم کنیم باید یه واحد بدیم به n1 یه واحد بدیم به n2 , دو واحد هم بدیم به n3
حالا باید بشمریم تعداد حالاتی که می توان این کارو کرد(مثل مسئله ایه که شما ۴ تا سیب دارید می خواهید اینا رو جوری بین علی و رضا و محمد تقسیم کنید که به علی و رضا هر کدام یک سیب و دو سیب به محمد برسد تعداد حالات چندتاست؟)
خب برای شمارش تعداد حالات اول یه دونه از اون واحد ها رو انتخاب می کنیم می دیم به n1 (چند حالت داره چهار حالت [tex]\binom{4}{1}[/tex] وقتی این کار و کردیم باید از بین سه واحد باقی مونده یکی به nn2 بدهیم (چندحالت داره سه حالت [tex]\binom{3}{1}[/tex]) و بعد از بین دو واحد باقیماندده هر دو واحد را به n3 بدهیم (که یه حالت داره [tex]\binom{2}{2}[/tex])
پس تعداد حالات شد ۴*۳*۱ (که همان [tex]\frac{4!}{1!1!2!}[/tex] است)

حالا یه اتفاق دیگه ای که اینجا میوفته اینه که عبارات نهایی [tex]\binom{4}{1}(x)^1\binom{3}{1}(-2y)^1\binom{2}{2}(3z^{-1})^2[/tex]است . پس ضریب عبارت خواسته شده برابر است با:
۴*۳*۱*(-۲)*۹=۲۱۶-