سلام....
سوالو به صورت کامل واستون توضیح می دم با اینکه سوال مال خیلی وقته پیشه حالا اگر دیدینش بخوانیدش:
سوال ۳۲ :

سوال گفته یک اتومورفیزم یک ایزومورفیزم از گراف به خودش است.و همانجوری که می دانید ایزوموفیزم تابع یک به یک و پوشا مثلا بین گرف G1 و گراف G2 یک ایزومورفیزم درست کنیم یعنی رئوس گراف G1 رو می نگاشتیم به رئوس گراف G2 به این می گفتن ایزومورفیزم و اتومورفیزم یعنی گراف به خودش یعنی رئوس گراف رو به خودش بنگاریم جوری که گرافه عوض نشه به همچین چیزی اتومورفیزم یا خودریختی گفته می شه:

حالا گزینه ها:

۱)k3,3 ,36 تا اتومورفیزم داره که از این طریق به دست میاد: (البته باید با توجه به شکلش حساب کنیم):
۳!*۳!*۲ یعنی
kn,n می شه :۲*N!^2 اتومورفیزم داره!
N^2! به خاطر اینکه هر دسته با خودش!(اولیشو می شه به ۳ طریق بعدی رو به ۲ طریق و راس آخر یه دسته رو به یه طریق به هم نگاشت کنیم و اون سمتم همین طور)
۲ برابرم به خاطر اینکه هر دسته با خودش نگاشت داره!(یعنی می توان جای دسته بالا و پایین رو با هم عوض کرد واین روند بالا واسه اونام بوجود می یاد)

۲)ولی در km,n می شه m!*n! یعنی n ها با خودشون و m ها با خودشون می تونند نگاشت بشن!

۳)اتومورفیزم یعنی رئوس این گرافو با یک تابع یک به یک و پوشا بدیم به رئوس همین گراف به طوری که گراف همین گراف بماند یعنی هر کیو به خودش بدیم و یعنی هر گراف حداقل یه اتومورفیزم رو داره و اگر شکلو بکشید می بینید که گراف عوض نمی شه و اگر بخواهیم یه اتومورفیزم واسه این شکل بکشیم باید ۱۴ (۱و ۲ رو نباید به هم بدیم چون ۱ درجش ۱ و ۲ درجش ۲ است و به همین ترتیب:۴۱ , ۲۳,۳۲ (یعنی ۲ رو به ۳ نگاشت کنیم یعنی تصویرشون کردیم به هم با توجه به درجه رئوس اون مجموعه اصلی که گزینه داده!)).پس این دو تا تابع اتومورفیزم یک به یک و پوشایی داره که شکل رو تغییر نمی ده و همین نگه می داره!

۴)بله درست است:اتومورفیزم بایستی گراف رو تغییر نده(یعنی lable ها رو) پس ماتریس رو هم نباید تغییرش بده یعنی در گراف فقط lable ها تغییر می کنند پس ماتریس هم بایستی سطر و ستون هاش تغییر کنند!

که اگه حساب کنید ۱ غلط و بقیه درستند.

موفق باشید...