زمان کنونی: ۱۰ فروردین ۱۴۰۳, ۰۷:۵۴ ب.ظ مهمان گرامی به انجمن مانشت خوش آمدید. برای استفاده از تمامی امکانات انجمن می‌توانید عضو شوید.
گزینه‌های شما (ورودثبت نام)

اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط

ارسال:
  

ka1366 پرسیده:

اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط

سلام دوستان من دنبال حل این دو تا مسئله هستم.
ممنون میشم کمکم کنید.

۱- نشان دهید توابع Re (z) ، Im (z و قدر مطلق z در هیچ نقطه ای مشتق پذیر نیستند.
۲- نشان دهید f(z) = |z| ^2 تنها در نقطه z = 0 + 0i مشتق پذیر است.

Rolleyes
نقل قول این ارسال در یک پاسخ

۲
ارسال:
  

Fardad-A پاسخ داده:

RE: اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط

اول اینکه در هر تاپیک یه سوال بپرسید. اما بعد:
لطفا" شرایط کشی ریمان را در هر دو فرم کارتزین و قطبی حفظ کنید.
هرگاه خواستید اثبات عدم وجود مشتق را بکنید کافیست بسادگی مشتق بگیرید و عدم امکان شرایط کشی ریمان را ببینید.
[tex]z=x iy, w=u iv ,w=Imz\Rightarrow w=y\Rightarrow u=0,v=y\Rightarrow u_{x}=0,v_{y}=1[/tex]
پس امکان تساوی صفر با یک وجود نداره پس مشتق نداره.
Rez هم خودتون حل کنید.
و سومیش:
[tex]z=re^{i\theta } , w=u iv ,w=\left |z \right |\Rightarrow w=r\Rightarrow u_{r}=1,v_{\theta }=0[/tex]
وباز امکان تساوی صفر و یک نیست.
اینکه تشخیص بدین کجا باید فرم قطبی و کجا کارتزین استفاده کنید به مهارت شما بستگی داره.
اما سوال دوم:
[tex]z=re^{i\theta }\Rightarrow f(z)=r^{2}\Rightarrow u=r^{2},v=0[/tex]
وجود مشتق علاوه بر اینکه شرایط کشی ریمان را لازم داره باین هم نیاز داره که مشتقات جزئی پیوسته باشند. حالا اگه uوv را نگاه کنید هر دو پیوسته هستند . پس فقط شرایط کشی ریمان باید برقرار باشه .
[tex]u_{r}=2r,v_{\theta }=0[/tex]
شرایط کشی ریمان قطبی میگه:
[tex]u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta },v_{r}=-\frac{1}{r}u_{\theta }[/tex]
و داریم:
[tex]u_{r}=2r,v_{r}=0,u_{\theta }=0,v_{\theta }=0\Rightarrow r=0[/tex]
و این یعنی اینکه فقط در مبدا برقراره و بنابراین فقط در مبدا مشتقپذیره.
نقل قول این ارسال در یک پاسخ

۱
ارسال:
  

SnowBlind پاسخ داده:

RE: اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط

(۲۷ مهر ۱۳۹۲ ۰۱:۲۰ ب.ظ)ka1366 نوشته شده توسط:  سلام دوستان من دنبال حل این دو تا مسئله هستم.
ممنون میشم کمکم کنید.

۱- نشان دهید توابع Re (z) ، Im (z و قدر مطلق z در هیچ نقطه ای مشتق پذیر نیستند.
۲- نشان دهید f(z) = |z| ^2 تنها در نقطه z = 0 + 0i مشتق پذیر است.

Rolleyes

شرط اینکه یه تابع مشتق پذیر باشه اینه که مشتقات جزئی u و v پیوسته باشن و همچنین در شرایط کوشی ریمان صدق کنن، شما کافیه اینا رو چک کنین.
نقل قول این ارسال در یک پاسخ

۱
ارسال:
  

nazanin_sh پاسخ داده:

RE: اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط

برای سوال اولتون علاوه بر چیزی که snowBlind گفتن ، از تعریف مستقیم مشتق هم میتونید استفاده کنید :
[tex]lim_{z \to z_0} \frac{f(z)- f(z_{0})}{z - z_{0}}[/tex]
و با استفاده از این خاصیت حد که " باید از همه ی جهات دارای حد باشه و با هم برابر باشن" وجود حد رو نقض کنید. اینجوری اثبات میشه که مشتق پذیر نیست.

برای سوال دوم هم باز از همین روش استفاده کنید و در نهایت میبینید که فقط زمانی که z=0 باشه این حد وجود داره .
نقل قول این ارسال در یک پاسخ



موضوع‌های مرتبط با این موضوع...
موضوع: نویسنده پاسخ: بازدید: آخرین ارسال
  اثبات به کمک استنتاج Xzrix ۲ ۲,۷۲۸ ۲۶ آبان ۱۳۹۹ ۱۱:۴۶ ب.ظ
آخرین ارسال: ghaderZ
  اثبات بومی بودن sirvan.t ۸ ۵,۱۵۱ ۱۰ اسفند ۱۳۹۸ ۰۹:۴۶ ب.ظ
آخرین ارسال: WILL
  تعداد اعداد ۵ رقمی هم ارز ss311 ۲ ۲,۳۳۹ ۰۶ بهمن ۱۳۹۸ ۰۴:۳۹ ب.ظ
آخرین ارسال: ss311
  ریشه اعداد مختلط meysam57 ۰ ۲,۶۰۰ ۰۷ آبان ۱۳۹۸ ۰۶:۴۳ ب.ظ
آخرین ارسال: meysam57
  مجموع اعداد ss311 ۳ ۲,۳۶۴ ۰۸ بهمن ۱۳۹۶ ۰۱:۲۹ ق.ظ
آخرین ارسال: msour44
  جایگشت اعداد ss311 ۰ ۱,۱۷۹ ۰۶ بهمن ۱۳۹۶ ۰۲:۰۴ ب.ظ
آخرین ارسال: ss311
Exclamation تولید اعداد تصادفی با توزیع نمایی samira4972 ۱ ۲,۸۷۲ ۳۰ آبان ۱۳۹۶ ۰۱:۲۸ ق.ظ
آخرین ارسال: The BesT
  حل مشتق ماتریس hanie_M ۰ ۳,۵۹۲ ۲۵ آبان ۱۳۹۶ ۱۱:۵۹ ب.ظ
آخرین ارسال: hanie_M
  بدست آوردن مرتبه مجموع اعداد رادیکال یک تا رادیکال n پشتکار ۱ ۲,۳۵۸ ۲۲ مهر ۱۳۹۶ ۰۱:۳۷ ق.ظ
آخرین ارسال: msour44
  این روش برای اثبات پایایی یک مقاله صحیحه؟ zohre321 ۴ ۳,۸۷۸ ۱۹ خرداد ۱۳۹۶ ۰۵:۰۶ ب.ظ
آخرین ارسال: lili36

پرش به انجمن:

Can I see some ID?

به خاطر سپاری رمز Cancel

Feeling left out?


نگران نباش، فقط روی این لینک برای ثبت نام کلیک کن. رمزت رو فراموش کردی؟ اینجا به یادت میاریم! close

رمزت رو فراموش کردی؟

Feeling left out?


نگران نباش، فقط روی این لینک برای ثبت نام کلیک کن. close