(۲۹ آبان ۱۳۹۱ ۰۳:۳۸ ب.ظ)mohammad-a نوشته شده توسط:  سلام.
تعداد اعمال m تایی در مجموعه‌ای با n عضو برابر با $n^{n^m}$ هست. توضیحش هم که داده اگر تابع $f:\ A^m \to A$ را فرض کنیم٬ میشه به این فرمول رسید.

آره محمد جان فرمول رو می دونم اما اینکه چه جوری میشه به این فرمول رسید برام سواله!؟!(ظاهرا قضیه سادست اما من متوجه نمی شم)
کلا با نحوه این نگاشت مشکل دارم!
ممنون میشم بیشتر توضیح بدی....

---

چجوری تعداد توابع این میشه؟!

ببینید تعداد توابعی که در $f:\ A \to B$ داریم٬ برابر با تعداد اعضای B به توان تعداد اعضای A است.
حالا در یک مجموعه٬ دوتایی‌هایی که در مجموعه میشه تعریف کرد٬ اعضای مجموعه‌ی جدیدی به نام $A^2$ میشه. حالا توابعی از این مجموعه‌ها را خواهیم داشت که از $A^2$ به A برسه... طبق تعریف داریم٬‌ عمل n تایی تابعی که از $A^2$ یک دوتایی رو دریافت کنه٬ و یک عضو از این مجموعه‌ی مورد صحبت رو تولید کنه.
مجموعه می‌تونه اعداد صحیح٬ طبیعی و... باشه.

یک مثال:
عمل دو تایی در مجموعه‌ی اعداد طبیعی٬ اگر عمل ما جمع باشه:
$N=\{1,2,3,4,5,...\}$ رو اگر داشته باشیم٬ و دوتایی‌های این مجموعه رو حساب کنیم٬ به ازای هر کدوم از این دوتایی‌ها اگر روی هر کدام از اجزای این دوتایی عمل جمع رو انجام بدیم٬ باز یک عضو از مجموعه‌ی N تولید میشه. یعنی عمل جمع تابعی روی مجموعه‌ی دوتایی N پیاده‌سازی کرده که به ازای هر کدام از اعضای $N^2$ باز عضوی از N تولید میشه.
این میشه عمل دوتایی جمع روی مجموعه‌ی اعداد طبیعی که البته بسته هم هست. در حالیکه برای مثال ما نمیتوانیم عمل تفریق رو روی این مجموعه به عنوان یک عمل دوتایی در نظر بگیریم... چون به ازای هر دوتایی ممکنه عضوی رو تولید کنه که از مجموعه‌ی اصلی ما نباشه... بنابراین تفریق روی N عمل دوتایی نیست.