سلام.
این سوال رو از بسط دو جمله‌ای به روش زیر میشه حل کرد:
حداکثر ضریبی که از صورت کسر تولید میشه٬ [tex]x^4[/tex] هست. پس برای تولید [tex]x^{15}[/tex] مجموعاً ۵ حالت رو در نظر میگیریم:
تولید [tex]x^{15}[/tex] از مخرج کسر
تولید [tex]x^{1}[/tex] از صورت کسر و [tex]x^{14}[/tex] از مخرج کسر
تولید [tex]x^{2}[/tex] از صورت کسر و [tex]x^{13}[/tex] از مخرج کسر
تولید [tex]x^{3}[/tex] از صورت کسر و [tex]x^{12}[/tex] از مخرج کسر
تولید [tex]x^{4}[/tex] از صورت کسر و [tex]x^{11}[/tex] از مخرج کسر

در نتیجه طبق این گفته‌ها داریم:
[tex]\frac{(1 x)^4}{(1-x)^4}=(1 x)^4\ (1-x)^{-4}[/tex]

محاسبه‌ی ضریب٬ طبق حالت ۵ گانه‌ی گفته شده:
[tex]\\ \binom{-4}{15}(-1)^{15} \binom{4}{1}\binom{-4}{14}(-1)^{14} \binom{4}{2}\binom{-4}{13}(-1)^{13} \binom{4}{3}\binom{-4}{12}(-1)^{12} \binom{4}{4}\binom{-4}{11}(-1)^{11}[/tex]

خواهیم داشت:
[tex]\binom{18}{15}-4\binom{17}{14} 6\binom{16}{13}-4\binom{15}{12} \binom{13}{11}[/tex]