(۰۱ فروردین ۱۳۹۶ ۱۱:۴۵ ب.ظ)peace2013 نوشته شده توسط:  تعداد عمل دودویی روی یک مجموعه

اینجا نوشته که یه binary operation روی مجموعه‌ی S، در واقع یک نگاشتی هست که هر یک از اعضای $S\times S$ رو به اعضای $S$ مپ می‌کنه. در اینجا که $S=\{a,b,c,d,x\}$ هست اعضای $S\times S$ میشه $\{(a,a),\: (a,\: b),\: ...,\: (x,d),\: (x,\: x)\}$ که میشه ۲۵ عضو. در حالت عادی هر کدوم از این ۲۵ عضو رو می‌تونیم به هر یک از ۵ عضو S نگاشت کنیم پس $5^{25}$ تابع مختلف می‌تونیم داشته باشیم یا به عبارتی، $n^{n^2}$. ولی نکته‌ای که هست اینه که نگاشت جابجاپذیر هست، در نتیجه $(a,\: b)$ با $(b,\: a)$ یکی هست، پس $(a,\: b)$ به هر چی مپ بشه، $(b,\: a)$ هم به همون مپ میشه. پس به ازای هر $(w,\: z)$ در $S\: \times S$ باید $(z,\: w)$ ها رو به نوعی حذف کنیم یعنی اونا فقط به ۱ جا می‌تونند مپ بشن (نه n جا). در نتیجه تعداد اعضایی که می‌مونه (و میتونن به n جا مپ بشند) میشه $\frac{n(n+1)}{2}$ که برای n=5 میشه ۱۵/

اما میمونه عضو خنثای x. ما چون از operationمون خبر نداشتیم میگفتیم که هر زوج مثلاً $(a,\: b)$ ممکن هست به هر چیزی مپ بشه یعنی a*b نمیدونیم که a میشه، b میشه، c یا ... ولی وقتی یکی از a یا b ها، عضو خنثی باشه، اونوقت میدونیم که a*b میشه a چون تعریف عضو خنثی این هست. در نتیجه میدونیم که $(a,\: x)$ به a مپ خواهد شد، $(b,\: x)$ به b و ... و $(x,\: x)$ هم به x. پس برای اینا هم دیگه ۵ حالت نداریم و در واقع ۱ حالت هست. در نتیجه از اون $\frac{n(n+1)}{2}$ حالت باید n حالت هم کم کنیم و جواب میشه $n^{\frac{n(n-1)}{2}}$ که میشه $5^{10}$