سلام. k متغیر داریم. توی هر جمله N تا از این متغیر ها با تکرار استفاده میشن. یعنی همه جملاتمون بفرم $x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_k^{n_k}$ هست که مقدار همه توانها بزرگتر یا مساوی صفره و مجموعشون هست N که N همون توانه. پس داریم:


تعداد حالات عبارت فوق میشه $\binom{N k-1}{N}=\binom{N k-1}{k-1}$

فرض کنید بجای اینکه پرانتز صورت سوال رو با توان N مشخص کنیم، N تا پرانتز پشت سر هم ردیف کنیم. تعداد حالات $x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_k^{n_k}$ میشه تعداد رشته های ساخته شده از $n_i$ تا متغیر $x_i$ به ازای مقادیر $1\leq i\leq k$. در مجموع N جایگاه (پرانتزها) داریم و میخواهیم N شیئ از k نوع که تعداد هرکدوم مشخصه رو توی رشته مرتب کنیم. حاصل میشه $\frac{N!}{n_1!n_2!...n_k!}$.