سلام. k متغیر داریم. توی هر جمله N تا از این متغیر ها با تکرار استفاده میشن. یعنی همه جملاتمون بفرم [tex]x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_k^{n_k}[/tex] هست که مقدار همه توانها بزرگتر یا مساوی صفره و مجموعشون هست N که N همون توانه. پس داریم:


تعداد حالات عبارت فوق میشه [tex]\binom{N k-1}{N}=\binom{N k-1}{k-1}[/tex]

فرض کنید بجای اینکه پرانتز صورت سوال رو با توان N مشخص کنیم، N تا پرانتز پشت سر هم ردیف کنیم. تعداد حالات [tex]x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_k^{n_k}[/tex] میشه تعداد رشته های ساخته شده از [tex]n_i[/tex] تا متغیر [tex]x_i[/tex] به ازای مقادیر [tex]1\leq i\leq k[/tex]. در مجموع N جایگاه (پرانتزها) داریم و میخواهیم N شیئ از k نوع که تعداد هرکدوم مشخصه رو توی رشته مرتب کنیم. حاصل میشه [tex]\frac{N!}{n_1!n_2!...n_k!}[/tex].