(۲۸ آذر ۱۳۹۰ ۰۲:۳۴ ق.ظ)Lakikharin نوشته شده توسط:  با سلام
توضیح این رابطه ای که میگم توی بحث ترکیبیاته ولی ما توی آمار داشتیم(!!!)
[tex](a b c)^{21}=\sum_{0<=i,j,k<=21}^{ }\binom{21}{i k k}a^{i}b^{j}c^{k}[/tex]
رابطه بالا همون بسط ۳ جمله ایه. برای a,c مقدار ۱ و برای b یکبار ۱ و یکبار ۱- معادل میکنیم. به ۲ معادله زیر میرسیم:
[tex](1 (-1) 1)^{21}=\sum_{0<=i,j,k<=21}^{ }\binom{21}{i k k}1^{i}(-1)^{j}1^{k}=1[/tex]
[tex](1 1 1)^{21}=\sum_{0<=i,j,k<=21}^{ }\binom{21}{i k k}1^{i}1^{j}1^{k}=3^{21}[/tex]
رابطه اول به ما میگه روش توزیع ۲۱ شی متفاوت در ۳ ظرف متفاوت به شرطی تعداد اشیای ظرف ۲ فرد باشه یکی کمتر همین توزیع با فرض زوج بودنشه. (توان ۱- نشون میده که چندبار تکرار شده؛ اگه حاصل ۱- شد یعنی توان اون جمله فرده و تعداد اشیای ظرف ۲ هم فرده و اگه ۱ شد یعنی تعداد اشیای ظرف ۲ زوجه)
رابطه دوم هم به ما میگه روش توزیع ۲۱ شی متفاوت در ۳ ظرف متفاوت ۳ به توان ۲۱ حالت داره.
با استفاده از این ۲ عبارت میتوان به این نتیجه رسید که تعداد حالات توزیع ۲۱ شی متفاوت در ۳ ظرف متفاوت به شرطی تعداد اشیای ظرف ۲ فرد باشه میشه [tex](3^{21}-1)/2[/tex]
یکی از جوابهای این رابطه [tex]1^0(-1)^{21}1^0[/tex] هست. این جواب جزء جواب معادله ما محسوب میشه چون تعداد اشیای ظرف ۱ و ۳ زوج هستند ولی برای اینکه از فرمول زیر استفاده کنیم این حالت رو جدا میکنیم.
با جداکردن حالت فوق تعداد [tex](3^{21}-3)/2[/tex] عبارت داریم که میدونیم تعداد اشیای ظرف دوم اونا فرد هستن و مجموع محتوای دو ظرف اول و سوم یک عدد زوج بین ۲ و ۲۰ میشه. (حالتی که مجموعشون ۰ بود رو جدا کردیم.) با توجه به رابطه زیر:
[tex]\forall p>=1 ; ((-1) 1)^{2p}=\sum_{i=0}^{2p}\binom{2p}{i}(-1)^i1^{2p-i}=0[/tex]
مشخص میشه تعداد حالاتی که هر کدام از ظروف اول و سوم محتوای تعداد زوج شئ باشن با حالاتی که هر کدام از ظروف اول و سوم محتوای تعداد فرد شئ باشن برابرن و برابر نصف تعداد کلی ما هستن.
[tex]((3^{21}-3)/2)/2=(3^{21}-3)/4[/tex]
یک حالت خاص هم در بالا داشتیم که با اضافه کردن اون به جواب داریم:
[tex](3^{21}-3)/4 1=(3^{21} 1)/4[/tex]
که همون جواب مسئلمونه.