مدل پولیا حل مسأله
مقدمه:
حل مسئله از دو جنبه اهمیت دارد. اول آن که از اهداف مهارتی مهم در آموزش ریاضیات است و از طرف دیگر می توان گفت انجام هر فعالیت با پاسخ دادن به سؤال ها و یا تمرین های ریاضی (که ممکن است به منظور تقویت مهارتی طرح شده باشد.) به نوعی حل مسئله است. با این تعریف حل مسئله چتری است که بر روی تمام اهداف مهارتی و به تعبیری دیگر بر تمام آموزش ریاضی قرار می گیرد.
در استانداردهای آموزش ریاضی این گونه بیان شده است، حل مسئله قلب تپیده یا نقطه ی تمرکز آموزش ریاضی است.
مسئله را می توان به زبان ساده تعریف کرد. هرگاه فردی بخواهد کار دیگری انجام دهد یا جای دیگری باشد، ولی نتواند به هدف خود برسد، مسئله ایجاد می شود. حل مسئله، نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است. مسئله و تلاش برای حل آن جزیی از زندگی هر فرد است. تعلیم و تربیت باید دانش آموزان را برای برخورد با زندگی آینده آماده کند. فرآیند برخورد با شرایط زندگی را حل مسئله می نامند.
در آموزش ریاضی دو دیدگاه و یا رویکرد کلی در مورد حل مسئله وجود دارد.
۱- ریاضی را آموزش می دهیم تا به کمک آن دانش آموزان مسئله حل کنند.
۲- آموزش ریاضی را از طریق حل مسئله انجام دهیم.
در نگاه اول حل مسئله در پایان فرآیند آموزش قرار می گیرد.
کتاب های ریاضی دوره ی ابتدایی و راهنمایی فعلی نیز با همین دیدگاه برنامه ریزی شده است . لذا ابتدا مفاهم آموزش داده می شوند سپس تکنیک ها و قواعد بین بیان شده پس از کسب مهارت در انجام تکنیک ها، تعدادی مسئله مطرح می شوند تا دانش آموزان باتوجه به دانش ریاضی خود به آن پاسخ دهند.
در رویکرد دوم حل مسئله در آغاز فرآیند آموزش است. در واقع با طرح یک مسئله و به چالش انداختن ذهن دانش آموزان شرایط برای آموزش مهیا شده، و دانش آموز با درگیر شدن در فرآیند حل مسئله به تدریج مفهوم و یا دانش مورد نظررا مرحله به مرحله تولید می کند و ضمن حلّ مسئله یک موضوع تازه از ریاضیات را نیز فرا می گیرد.
آموزش ریاضی از طریق حل مسئله :
در تدریس ریاضی از طریق حل مسئله دنیای واقعی نقطه ی شروع است؛ یعنی مسئله از دنیای واقعی انتخاب می شود و سپس به زبان ریاضی ترجمه می شود. این ترجمه در واقع، نوعی مدل سازی ریاضی است. گاهی برای فهم و درک بهتر یا ترجمه ی دقیق تر، ممکن است چندین رفت و برگشت بین دنیای واقعی و دنیای ریاضی انجام شود تا بالاخره در دنیای ریاضی مسئله حل ریاضی شود اما این، نقطه ی پایان کار نیست؛ بلکه باید حل مسئله در دنیای واقعی تفسیر و ترجمه شود. مدل زیر این موضوع را بهتر نمایش می دهد.
تعامل بین دو دنیا با پویایی ادامه پیدا می کند و هر بار مسئله ی جدید باعث اعتلای ریاضی و اضافه شدن بخش های جدیدی به آن می شود. از طرفی دیگر، گسترش و توسعه ی ریاضی نیز ره گشای حل مسئله های پیچیده تر از دنیای واقعی می شود. در مثال زیر کوشش شده است یک مسئله در قالب این مدل توضیح داده شود تا مفهوم مورد نظر بهتر شکل بگیرد.
قرار است یک مجتمع خدماتی ، شامل مدرسه، درمانگاه و شرکت تعاونی روستایی برای استفاده سه دهکده ی مشخص شده در نقشه ساخته شود، به طوری که فاصله بین این مجتمع از سه دهکده به یک اندازه باشد، محل ساختمان مجتمع را مشخص کنید.
این مسئله از دنیای واقعی انتخاب شده است. در مورد موضوع آن یعنی خدمات رسانی متمرکز به روستاهای مجاور هم و سیاست دولت در این خصوص می توان برای دانش آموزان توضیح داد وقتی به جای سه دهکده سه نقطه فرض می کنید و با وصل کردن آن ها به هم یک مثلث می سازیم در واقع مدل سازی ریاضی انجام داده ایم. به این ترتیب مسئله را به دنیای ریاضی برده ایم.
در دنیای ریاضی با رسم سه عمود منصف و پیدا کردن محل برخورد آن ها در واقع مسئله را حل ریاضی کرده ایم. مرحله ی آخر این است پاسخ به دست آمده را در دنیای واقعی تفسیر کنیم. با بررسی سؤال هایی مثل: آیا در چنین نقطه ای امکان ایجاد مجتمع وجود دارد؟ آیا در این نقطه مانعی طبیعی قرار دارد؟ آیا در روی زمین یک نقطه پیدا کرده ایم یا محدوده ای که بتوان در آن حوالی مجتمع را ساخت؟
مسئله ی بالا در کتاب اول راهنمایی به عنوان یک تمرین، مطرح شده و در آغاز آموزش حل مسئله نیست؛ ولی مدل مذکور را تا حد زیادی روشن و آشکار می کند.
یکی از پیام های بسیار مهم در این مدل، مرحله ی آخر یا تفسیر جواب ریاضی در دنیای واقعی است که اغلب در کلاس های ریاضی به آن توجه نمی شود و مسئله با پیدا کردن جواب ریاضی خاتمه می یابد.
آموزش مهارت حل مسئله:
تا چندی پیش اغلب آموزشگران ریاضی و ریاضیدانان بر این باور بودند که حل کردن مسئله یک توان، استعداد و نیرویی فردی است و آموزش دادن آن معنا ندارد. به عبارت دیگر، توانایی حل مسئله به صورت یک استعداد در درون افراد قرار دارد و نمی توان آن را از طریق آموزش تقویت و یا ایجاد کرد.
جرج پولیا با این تفکر که چه تفاوتی بین افراد مسئله حل کن و افراد دیگر وجود دارد که آن ها را قادر به حل مسئله می کند و دیگران را عاجز، به بررسی فرآیند تفکر حل مسئله در دانشجویان خود پرداخت و با نوشتن کتاب «چگونه مسئله را حل کنیم؟» ذهنیت آموزش حل مسئله را مطرح کرد.
امروزه با توجه به نظریات او و آموزشگرانی که پس از وی تحقیقات در مورد حل مسئله را ادامه دادند بر این باور هستیم که می توانیم از طرقی مهارت حل مسئله را بر دانش آموزان آموزش دهیم.
اغلب دانش آموزان ما در مواجه شدن با مسئله توان اقدام کردن به حل آن را ندارند. در واقع نمی دانند چطور باید حل را آغاز کنند و یا وارد حل مسئله شوند. این مشکل برای معلمان ریاضی کاملاً قابل درک است . اغلب آن ها از این که دانش آموزان درباره ی مسئله نمی توانند فکر کنند، ناراحت به نظر می رسند.
بعضی از معلمان نیز سعی کرده اند به روش های جدید تجربی خود، به نوعی حل کردن مسئله را به دانش آموز آموزش دهند. اغلب آن ها در این شیوه، راه را اشتباه رفته اند و به دانش آموزان آموزش های نادرست داده اند. برای مثال، نصف ها و واژه های به کار رفته در متن مسئله را مهم جلوه داده اند. «اگر کلمه ی روی هم را دیدید باید جمع کنید.» و یا «کلمه ی تفاوت به تفریق مربوط می شود.» بیان این قبیل جملات نه تنها آموزش نیست؛ بلکه به نوعی ضد آموزش است و قدرت تفکر را در ذهن دانش آموز از بین می برد. در این جا سعی شده است با تبیین مدل پولیا راهی را برای آموزش مهارت حل مسئله پیدا کنیم.
الگوی پولیا برای حل مسئله:
هرکس در ذهن خود فرآیندی برای حل مسئله طی می کند. مسیر حل مسئله برای مسایل گوناگون و برای افراد مختلف متفاوت است اما جرج پولیا تلاش کرده است تا این مسیر را به نوعی مدل سازی کند. الگوی چهار مرحله ای او به شکل زیر است.
۱- فهمیدن مسئله: گام اول در حل یک مسئله، فهمیدن آن است. این گام نشان می دهد وقتی مسئله است که چیزی برای فهمیدن داشته باشد. فهمیدن مسئله، یعنی تشخیص داده ها و خواسته های مسئله و ارتباط بین آن ها. فهم مسئله های مبارز طلب در واقع بخش اصلی فرآیند حل مسئله است. مسئله های پیچیده حل نمی شوند، چون اغلب در فهم آن مشکل داریم.
برای طی کردن این گام در هنگام حل مسئله می توان به سؤال هایی مثل مسئله چه چیزی (چه اطلاعاتی) داده است؟ چه چیزی را می خواهد؟ خواسته مسئله چیست؟ آیا مسئله باید در شرایط خاصی بررسی شود؟ آیا مسئله دارای محدودیت ها و شرایط معینی است؟ و یا می توان از دانش آموزان خواست که مسئله را به زبان خود بیان کنند و توضیح دهند. یا مسئله را خلاصه کنند و یا به صورت یک نمایش آن را به عمل در آورند. یا برای فهم بهتر از یک شکل استفاده کنند.
یکی از راه های مناسب برای طرح مسئله قرار دادن اطلاعات اضافی در متن سؤال است تا گام فهمیدن و تشخیص داده ها و خواسته ها اهمیت بیش تری پیدا کند.
۲- طرح ریزی کردن: گام دوم برنامه ریزی، طرح ریزی یا قصد کردن برای حل مسئله است. در این مرحله، مسئله را از ابعاد مختلف ریاضی بررسی می کنیم. یعنی این مسئله با کدام یک از مقولات هندسی، جبری، برداری و …. در ارتباط است. چگونه آن را می توان مدل سازی کرد؟ کدام روش یا راهبرد (استراتژی) برای حل آن مناسب تر است؟ در این مرحله ممکن است مجبور شویم به گام فهمیدن برگردیم و این رفت و برگشت تا رسیدن به یک راه حل مناسب ادامه می یابد.
در آموزش عمومی آنچه در این گام مطرح می شود، انتخاب راهبرد (استراتژی) یا روش حل مناسب برای حل مسئله است؛ یعنی در این مرحله دانش آموز داده های مختلف، حل مسئله را بررسی و امتحان می کند. راه هایی مثل کشیدن شکل، حدس زدن جواب، حذف کردن جواب های غیر ممکن برای رسیدن به جواب اصلی، فرد یا تکه تکه کردن مسئله، ساده تر کردن مسئله، تشکیل دادن معادله و …. بنابراین نام این مرحله را «انتخاب راهبرد» می گذاریم.
مهم ترین بخش در آموزش مهارت حل مسئله، آموزش راهبردها است. در واقع آنچه از حل مسئله، آموزش دادنی است. آموزش راهبردهاست. که در این مورد در قسمت بعد توضیحاتی ارائه خواهد شد.
۳- حل مسئله: در گام سوم، نقشه ی طرح شده را به اجرا می گذاریم. اگر راهبرد مناسب را انتخاب کرده باشیم و در فهم مسئله مشکلی نداشته باشیم، نقشه با موفقیت اجرا شده، مسئله حل می شود. در غیر این صورت، ممکن است به گام دوم برگردیم و طرح و نقشه یا راهبرد خود را تغییر دهیم. همچنین این امکان وجود دارد که در هنگام حل مسئله ، متوجه شویم هنوز بخش هایی از مسئله را نفهمیده ایم و یا در تشخیص داده ها یا خواسته ی مسئله اشتباه کرده ایم و باید به گام اول برگردیم.
یکی از نکات مهمی که باید به دانش آموزان گوشزد کنیم، این است که این قسمت بخشی از فرآیند حل مسئله است نه تمام آن، در واقع تمام تلاش هایی که برای فهمیدن مسئله و انتخاب راهبرد می شود نیز جزیی از حل مسئله است.
۴- نگاه به عقب (برگشت به عقب): درگام آخر در صورتی که مسئله حل شده باشد، آن را در دنیای واقعی، تفسیر و ترجمه می کنیم. همچنین در مورد منطقی بودن پاسخ و اینکه جواب به دست آمده همان خواسته ی مسئله است یا نه، بررسی می کنیم. راه حل و روش های ریاضی که در حل مسئله استفاده شده است، مجدداً بررسی و امتحان می شوند.
همان طور که ذکر شد معمولاً این گام در کلاس درس فراموش می شود؛ و دانش آموزان اغلب درباره ی منطقی بودن پاسخ خود، فکر نمی کنند. و پاسخ خود را در دنیای واقعی تفسیر و تعبیر نمی کنند.
با طی کردن ۴ گام فوق یک مسئله به طور کامل حل می شود. این مراحل در هنگام حل مسئله به صورت طبیعی و پنهان طی می شود. تأکید بیش از حد ۴ گام و جدا کردن آن ها از یک دیگر ممکن است به عاملی برای متوقف شدن فرآیند حل مسئله منجر شود لذا توصیه می شود معلمان محترم این ۴ مرحله را به صورت طبیعی در کلاس با دانش آموزان خود طی کنند و با تکرار آن در حل هر مسئله آن را به صورت ملکه در ذهن دانش آموز درآورند تا او بتواند فرآیند تفکر خود را نظم و سازماندهی کند.
راهبردهای حل مسئله:
یکی از مشکلات اصلی دانش آموزان، عدم اقدام به حل مسئله است؛ یعنی وقتی با یک مسئله مواجه می شوند، نمی دانند از کجا باید شروع کنند و یا چگونه اقدام به حل آن نمایند. مدل پولیا از یک طرف می تواند الگویی برای شروع به دانش آموز بدهد اما از طرف دیگر ممکن است خود مانع حل، خلاقیت و آزاد اندیشی دانش آموز شود اما آموزش راهبردهای حل مسئله می تواند گام مفیدی برای حل مسئله باشد. دانش آموز در گام دوم حل مسئله می تواند از بین راهبردهای مختلف که برای حل مسایل آموزشی دیده است، راه حل مسئله ای که با آن مواجه شده است را انتخاب کند.
بررسی راهبردهای مختلف وامکان حل مسئله با آن راهبردها در واقع اقدام مهمی برای حل مسئله است. در آموزش عمومی ۸ راهبرد زیر به دانش آموزان داده می شود.
۱- رسم شکل: ضرب المثل هایی چون «شنیدن کی بود مانند دیدن» و «یک تصویر ، با ارزش تر از هزار کلمه» از دیرباز رواج داشته است. احتمالاً بسیاری از مردم با این گونه نظریات موافق اند اما قدرت و کارایی بعضی از ضرب المثل ها برای همه ی آنان آشکار نیست، یک تصویر یا شکل، در گفت و گوها و ارتباط های کلامی نقش مؤثری دارد و می تواند ارتباط بین مکان ها و موقعیت های دور از هم را به سادگی و روشنی نشان دهد. نقاشان، طراحان و تصویرگران طنز پرداز افکار خود را با تصاویر، طرح ها و نقاشی ها قابل مشاهده می کنند. در ریاضیات چه طور؟ آیا شکل ها و تصویرهای کلی می توانند به حل مسئله ها کمک کنند.
این راهبرد به طور طبیعی در ذهن دانش آموز پیش می آید و کشیدن شکل برای یک مسئله، اولین ایده ای است که به ذهن می آید. بسیاری از مسایل، با کشیدن یک شکل به راحتی حل می شوند و حتی نیازی به نوشتن عملیات نخواهند داشت. اغلب معلمان با قبول نکردن این راه حل (کشیدن شکل) از دانش آموزان باعث می شوند این راهبرد با کاربرد وسیع کم کم از ذهن دانش آموز پاک شود.
دانش آموزان و اغلب معلمان فکر می کنند حل یک مسئله، یعنی نوشتن عملیات ریاضی، بنابراین اگر دانش آموزی یک مسئله را فقط با کشیدن یک شکل حل کند و به پاسخ و خواسته ی مسئله برسد باز هم تردید دارد و سعی می کند با نوشتن عملیات ریاضی پاسخ خود را قابل قبول کند.
به مسئله ی زیر و نحوه ی حل آن را با رسم شکل توجه کنید.
«در یک مزرعه ۲۰ مرغ و گاو وجود دارد. تعداد پاهای آن ها ۵۴ عدد است. با فرض این که همه ی آن ها سالم هستند چند مرغ و چند گاو در این مزرعه وجود دارد؟»
پاسخ: ۷ گاو ۱۳ مرغ
این راهبرد مسئله ی بالا برای دانش آموز دوم دبستان نیز قابل طرح است.
۲- سازمان دهی داده ها و جدول نظام دار: مرتب کردن داده ها، قرار دادن آن ها دریک جدول و سازمان دهی داده ها، راهبرد مناسبی برای حل مسئله است و دانش آموزان در دوره ی ابتدایی باید آن را فرا بگیرند. پس از آن باید یاد بگیرند که چگونه داد ها را در یک جدول با نظم منطقی مرتب کنند. تشکیل جدول به صورت نظام دار این اطمینان را ایجاد می کند که تمام حالت های مختلف در نظر گرفته شده اند.
به مسئله ی زیر توجه کنید.
«تعدادی سکه ی ۵ تومانی، ۱۰ تومانی و ۲۵ تومانی در اختیار داریم. با چه تعداد از هر کدام یا ترکیب آن ها می توانیم ۵۰ تومان پول جدا کنیم؟»
پاسخ های مختلف این مسئله را با حدس زدن و انجام محاسبات (ذهنی) می توان پیدا کرد و آن ها را در جدولی به شکل زیر سازماندهی کرد.
اما با روش فوق نمی توانیم از این که تمام پاسخ های درست را پیدا کرده ایم یا خیر با روش منطقی اطمینان حاصل کنیم. اما اگر پاسخ ها را با یک نظم در جدول می نوشتیم با تشکیل جدولی نظام دار می توانستیم مطمئن شویم که تمام حالت های ممکن را در نظر گرفته ایم. در جدول نظام دار زیر، نظم نوشتن اعداد به این ترتیب است. از سکه ی ۲۵ تومانی شروع می کنیم و
بزرگ ترین عدد ممکن را قرار می دهیم سپس براساس سکه ی ۱۰ تومانی بزرگ ترین عدد ممکن را قرار داده به همین ترتیب پیش می رویم.
به این ترتیب، تمام ۱۰ حالت ممکن به دست می آید.
۳- حدس و آزمایش: حدس زدن برای بیشتر مردم چیز جدیدی نیست. هر دانش آموزی بارها در طول تحصیل آگاهانه یا ناخودآگاه در مورد جواب سؤال و مسائل حدس هایی زده است. روش حدس زدن، در زندگی روزمره از دوران کودکی تا بزرگ سالی مورد استفاده قرار می گیرد. دانشمندان هم از این روش استفاده می کنند، بنابراین، حدس و آزمایش نه تنها یک راهبرد، بلکه یک گردش و طرز فکر نیز هست.
ممکن است پس از آموختن راهبرد حدس و آزمایش، احساس کنید که این کار نوعی تقلب است اما در واقع چنین نیست و واقعاً این روش برای حل مسئله مؤثر است. حدس و آزمایش در فهمیدن مسئله به ما بسیار کمک می کند و به طور شگفت انگیزی نقطه ی شروع حل مسئله را به ما نشان می دهد. این راهبرد گاهی خیلی سریع به جواب می رسد و گاهی ممکن است امیدوار کننده نباشد. نباید دل سرد شویم بلکه باید با سازمان دهی بهتر و نظام دار همراه با سماجت برای حل مسئله تلاش کنیم.
وقتی حدس می زنیم و آزمایش می کنیم، باید اعتماد داشته باشیم که می توانیم مسئله را حل کنیم، حتی اگر در آغاز نتوانسته باشیم آن را خوب درک کنیم. باید حدس هایمان را هوشمندانه و با روشی نظام دار مورد ارزیابی قرار دهیم و تلاش کنیم حدس های بهتری بسازیم. پس از حدس زدن، نوبت به آزمایش کردن حدس می رسد که نیازمند اجرای عملیات ریاضی و محاسباتی است.
بنابراین، آزمایش کردن گاهی زحمت و درد سر هم دارد ولی نتیجه ی کار هر چه باشد، گاهی به جلو است.
گاهی ماهیت مسئله چنان است که با حدس و آزمایش نمی توان جواب را به راحتی به دست آورد ولی می توان تقریب و تخمین خوبی برای جواب به دست داد.
این راهبرد نیز معمولاً توسط معلمان مورد قبول واقع نمی شود در حالی که راهبردی مناسب برای حل مسایل است. در این راهبرد، دانش آموز پاسخ مسئله را حدس می زند. پس از بررسی حدس خود و آزمایش کردن آن، حدس بعدی را با استدلالی منطقی مشخص می کند. با ادامه دادن این فرآیند، کم کم فرد به پاسخ درست مسئله می رسد.
در آموزش این راهبرد ۴ نکته اهمیت دارد. اول آن که دانش آموز حدس دوم به بعد را براساس نتایج بررسی حدس قبلی خود و با استدلالی منطقی تعیین می کند. دوم او باید یاد بگیرد مراحل حدس و آزمایش خود را به صورت مکتوب ارائه و استدلال خود را بیان کند، به طوری که دیگران قادر به درک مراحل حدس و آزمایش او شوند.
۴- الگویابی: اهمیت مطالعه ی الگوها به حدی است که ریاضیات را علم الگوها نیز نامیده اند. الگوها در همه جا حضور دارند، در زندگی روزانه هزاران الگو وجود دارد. طراحی های صنعتی، رفت و آمد وسایل نقلیه، برنامه های تلویزیونی، سنگ فرش خیابان ها و منازل و پارک ها، طراحی های هنری و معماری همگی نشانه هایی از وجود الگوها در زندگی روزانه هستند.
نگاه آگاهانه و دقیق برای یافتن الگوها مهارتی مهم است که وجود آن برای حل مسئله و به طور کلی، مطالعه ی هستی ضرورت دارد. توانایی الگویابی موجب می شود که مسائل پیچیده به حد الگوها تنزل یابند و با استفاده از الگو به حل مسئله نایل شویم. معمولاً کلید یافتن یک الگو، سازمان دهی و تنظیم داده هاست. به همین دلیل، راهبردهای ارائه شده مورد استفاده قرار می گیرند.
کشف الگو و رابطه های بین داده های مسئله به حل آن کمک می کند. راهبرد الگویابی برای مسایلی که با استفاده از رابطه ها و قواعد تکرار پذیر طرح می شوند، مفید است. گاهی کشف الگو همان حل مسئله است و در مواقعی پیدا کردن الگو راه را برای حل مسئله باز می کند.
۵- حل مسئله ساده تر: گاهی مسئله پیچیدگی هایی دارد که نمی توان آن را به راحتی حل کرد اما وقتی مسئله را ساده می کنیم یا مسئله حل می شود یا روش حل آن ظاهر می شود.
وقتی مسئله در حالت ساده تر بررسی شد، با یک الگویابی می توان آن را به حالت کلی تعمیم داد. ساده کردن عددها و داده های یک مسئله نیز بخشی از این راهبرد است.
در مسئله ی زیر به جای عدد ۳ ۵ و به جای عدد ۲۴۴، ۲۰۰ قرار دهید، یک بار دیگر مسئله را بخوانید در کدام حالت مهم مسئله ساده تر به نظر می رسد؟ «در یک کارخانه لوله هایی به طول ۳ ۵ متر تولید می شود».
تولید این کارخانه در هر روز ۲۴۴ لوله است. در هر روز چند متر لوله تولید می شود؟»
معلم چندان سرحال نبود اما به ناچار بایستی کارهایی را که روی میزش انبار شده بود، انجام می داد. به همین دلیل قصد داشت دانش آموزان را به حل مسئله ای مشغول کند تا فرصتی به دست آورد و کارهایش را انجام دهد! با این فکر از جا برخاست و روی تخته ی کلاس نوشت: «حاصل جمع اعداد طبیعی از ۱ تا ۱۰۰ را به دست آورید.»
تصور می کرد که این کار دست کم ۳۰ دقیقه دانش آموزان را سر کار می گذارد! اما هنوز چند لحظه ای نگذشته بود که کارل گاوس نزد معلم رفت و پاسخ مسئله را که روی تخته ای چوبی نوشته بود، روی میز او گذاشت و گفت: مسأله حل شد. در حالی که بقیه ی شاگردان، کار خود را تازه شروع کرده بودند. معلم که از نادرست بودن پاسخ پسرک کاملاً مطمئن بود، اصلاً به نوشته ی او توجه نکرد و او را به گزافه گویی متهم نمود! مدت زمانی نسبتاً طولانی گذشت! حالا دیگر معلم همه ی می گذاشتند. به این ترتیب، آخرین لوحی که معلم نگاه کرد، متعلق به گاوس بود. او با تعجب دید که جواب گاوس درست است! واقعاً گاوس مسئله را چگونه حل کرده بود؟ داستانی که گاوس در مورد راه حل خود گفت، چه بود؟
از یک تا صد
مجموع اولین صد عدد طبیعی چه قدر است؟
شما می توانید این مسئله را حل کنید. این تجربه ی عالی را از دست ندهید!
راه هایی گوناگونی برای حل کردن این مسئله وجود دارد. یکی از آن ها این است که کاغذ و قلم را برداریم و شروع به جمع کردن کنیم (پشت سر هم جمع کنیم) یا ماشین حساب را روشن کنیم و به کمک آن، عملیات را انجام دهیم! اما گاوس ماشین حساب نداشت؛ بنابراین، او باید از راه دیگری رفته باشد. روش دیگر این است که راهبرد زیر مسئله و الگویابی را ترکیب کنیم و به حل مسئله بپردازیم.
مجید راه حل خود را به این شکل توضیح می دهد:
من مسئله را به چند زیر مسئله شکستم؛ به این ترتیب که ده تا ده تا به صورت زیر جمع کرده:
زیر مسئله ی ۱: ۵۵=۱۰+۹+۸+۷+۶+۵+۴+۳+۲+۱
زیر مسئله ی ۲:
۱۵۵=۲۰+۱۹+۱۸+۱۷+۱۶+۱۵+۱۴+۱۳+۱۲+۱۱
زیر مسئله ی ۳:
۲۵۵=۳۰+۲۹+۲۸+۲۷+۲۶+۲۵+۲۴+۲۳+۲۲+۲۱
آن گاه، فوراً الگویی به نظرم رسید:
…. ۳۵۵،۲۵۵،۱۵۵،۵۵
این اعداد را با هم جمع کردم و جواب به دست آمد.
۰ ۵۰۵= ۹۵۵+۸۵۵+…+۳۵۵+۲۵۵+۱۵۵+۵۵
مجید اضافه می کند:«زیر مسئله ها و الگویابی کار را بسیار ساده کرد. البته، من از ماشین حساب هم استفاده کردم؛ در صورتی که دویست سال پیش ماشین حساب وجود نداشت».
واقعاً گاوس این مسئله را چگونه حل کرده است؟ شاید او داستان راه حل مسئله را به صورت زیر بیان کرده است:
موقعی که معلم این مسئله را روی تخته ی کلاس نوشت، واقعاً نمی خواستم آن را حل کنم. فکر کردم که او می خواهد ما را سرگرم کند؛ چون بچه ها خیلی شلوغ کرده بودند. آن ها موشک و هواپیمای کاغذی به طرف یک دیگر پرتاب کرده بودند و همه جای کلاس پر از آشغال و کاغذ شده بود! ولی من هیچ کاری نکرده بودم و به همین دلیل، احساس می کردم که نباید تنبیه شود. بچه ها مشغول تمیز کردن اطراف میزهایشان شدند و من نمی خواستم با آن ها در این کار همراه شوم؛ بنابراین، برای لحظه ای به مسئله فکر کردم. اول تصور می کردم که جمع کردن اعداد از ۱ تا ۱۰۰ زمان زیادی طول خواهد کشید.
در نتیجه، روی ۱ تا ۱۰ فکر کردم، می دانستم بدون هیچ مشکلی می توانم آن ها را با هم جمع کنم.
…. ۱۵۰=۵+۱۰/ ۱۰=۴+۶ . ۶=۳+۳/ ۳=۲+۱
خیلی زود از این کار خسته شدم. تصور نمی کردم که بتوانم تا ۱۰۰ ادامه بدهم؛ باید راه ساده تری هم وجود داشته باشد. به نظرم رسید که لازم نیست اعداد را با همان ترتیب با هم جمع کنم.
می توانستم از هر ترتیبی که دلم می خواست استفاده کنم. پس، شروع به بازی با اعداد کردم. ۱ را با ۵ جمع کردم، ۶ شد ۲ را با ۴ جمع کردم، دوباره ۶ به دست آمد. به نظر عجیب آمد. دوباره شروع کردم و این دفعه ۱۰ را با ۱ جمع کردم. ۱۱ شد. سپس ۲+۹ . ۳+۸ . ۴+۷ . ۵+۶ ، که همگی برابر ۱۱ شدند. پس جمع تمام اعداد از ۱ تا ۱۰ برابر بود با ۱۱×۵؛ چون ۵ گروه ۱۱ تایی بود.
با این تجربه، فوراً دریافتم که چگونه باید مسئله ی اولیه را حل کنم.
۱۰۱= ۹۸+۳ ۱۰۱ = ۱۰۰+۱
۱۰۱=۹۷+۴ ۱۰۱=۹۹+۲
همین طور ادامه دادم و ۵۰ گروه با مجموع ۱۰۱ بدست آوردم؛ بنابراین، حاصل ۵۰۵۰ = ۱۰۱ ×۵۰ شد. با شادمانی بسیار و در حالی که لوحم را به دست گرفته بودم، نزد معلم رفتم ولی او….
کاری که کارل گاوس در قرن هجدهم انجام داد، درسی بزرگ برای ما دارد. اگر احساس می کنید مسئله سخت است، سعی کنید آن را به مسئله ای ساده تر تبدیل کنید.
در این جا روش هایی را ارائه می کنیم که برای ساختن یک مسئله ی ساده تر و مربوط به مسئله ی اصلی، می توانند مؤثر و راه گشا باشند.
۱- از یک عدد ساده و مناسب به جای یک متغیر استفاده کنید.
۲- عددهای کوچک تر یا ساده تر را جایگزین عددهای خیلی بزرگ سخت کنید.
۳- مجموعه های از مثال های ساده تر را انجام دهید و در میان این حالت های ساده، در پی یافتن یک الگو باشید.
۴- یک مثال خاص و ساده تر را انجام دهید و براساس آن، فرآیند ساده تری را کشف کنید و با استفاده از آن به حل مسئله اصلی بپردازید.
۵- اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید.
۶- بعضی از شرط ها را تغییر دهید، ثابت نگه دارید یا کنار بگذارید.
۶- زیر مسئله : مسئله های پیچیده و چند هدفی معمولاًً از چند مسئله ساده تشکیل شده اند. گاهی حل یک زیر مسئله و یا زنجیره ای از زیر مسئله ها منجر به حل مسئله اصلی می شوند.
تشخیص زیر مسئله ها و حل آن ها راهبرد مهمی برای مسئله های ترکیبی هستند.
در آموزش این راهبرد به دو نکته باید توجه کرد. اول تشخیص زیر مسئله ها، سپس نوشتن (تشکیل) مسئله های کوچک و حل آن ها برای رسیدن به پاسخ نهایی مسئله.
شاهپانزه در اتاقکی زندگی می کند و گرسنه است. ناگهان در بیرون اتاقک، موزی را می بیند که روی زمین افتاده است.
شاهپانزه می تواند دست خود را از لای میله های اتاقک بیرون آورد ولی دستش به موز نمی رسد. حیوان با جدیت تلاش می کند تا به موز دست یابد. درست روبه روی موز پشت میله ها نشسته است . در بیرون اتاقک، قطعه چوبی روی زمین افتاده است که دست حیوان به آن می رسد. ابتدا به آن توجهی نمی کند. ناگهان به هیجان می آید، چوب را بر می دارد و آن قدر تلاش می کند تا به وسیله ی چوب موز را به دست می آورد و می خورد. اگر چه این مشاهده برای آزمایش های روان شناسی هم بسیار مهم است ولی تفکری زیبا و ریاضی گونه مربوط به حل مسئله در آن وجود دارد. در واقع، میمون دو مسئله را حل کرده است.
الف) برداشتن موز
ب) برداشتن قطعه چوب
مسئله ی الف پیش از پیدایش مسئله ی ب وجود داشت. در ابتدا میمون هیچ علاقه ای به چوب نشان نمی داد، زیرا گرسنه بود اما می دانست که چوب خوردنی نیست با وجود این اول مسئله ی ب را حل کرد حل مسئله ی ب، راه را برای حل مسئله ی اصلی الف باز کرد. میمون مستقیماً به حل مسئله ی الف علاقه مند بود و تنها به طور غیر مستقیم متوجه ی مسئله ی ب شد.
«خلاقیت ریاضی – پولیا»
مسئله ی الف مسئله ی اصلی و مسئله ی ب یک زیر مسئله یا مسئله ی درون مسئله یا یک مسئله ی کمکی برای مسئله ی الف است.
همه ی راهبردهایی که تاکنون مورد بحث قرار گرفته اند، با سازمان دهی اطلاعات سروکار دارند.
رسم یک شکل، اطلاعات را به صورت تصویری سازمان دهی می کند. راهبردهای تنظیم جدول نظام دار، حدس و آزمایش نیز به نوع دیگر، داده ها را تنظیم و مرتب می کنند. راهبرد مسئله های درون مسئله دارای نگاهی متفاوت است و با طرح نقشه و چگونگی یورش به مسئله سروکار دارد.
مسئله ی زیر را به عنوان نمونه ای ساده در نظر بگیرید.
«اگر ۱۷=۱- x3 ، آن گاه مقدار ۴- x 2 را بیابید».
برای حل این مسئله، ابتدا باید معادله ی ۱۷=۱-x3 را حل کرد و سپس مقدار x را در عبارت ۴- x2 قرار داد تا جواب مسئله به دست آید. در این جا، حل معادله ی ۱۷= ۱- x 3 یک زیر مسئله برای مسئله ی اصلی است.
۷- حذف حالت های نامطلوب: وقتی از تمام حالت های ممکن پاسخ یک مسئله و با استفاده از داده های آن حالت های نامطلوب یکی یکی یا دسته دسته حذف می شوند، خود را به پاسخ مسئله نزدیک می کنیم. این راهبرد، حذف حالت های نامطلوب نام دارد.
به مسئله ی زیر توجه کنید.
«جذر تقریبی عدد ۷۵۰ را به دست آورید.»
برای این کار می توانیم از دو مربع کامل ۴۰۰ و ۹۰۰ استفاده کنیم.
۳۰<500√ <20
فاصله ی بین ۲۰ و ۳۰ را نصف می کنیم تا به عدد ۲۵ برسیم از آن جا که ۶۲۵=۲۵۲ است می توان نتیجه گرفت.
۳۰<750√ <25
به همین ترتیب با نصف کردن فاصله ی بین ۲۵ و ۳۰ و تکراراین عمل می توان پاسخ جذر را با دقت مورد نظر تعیین کرد.
یکی از بازی های فکری که در دوران کودکی و نوجوانی بیش تر رواج دارد. «مسابقه ی بیست سؤالی» است. نوعی از مسابقه ی بیست سؤالی را که فکری تر است و با ریاضی سروکار بیش تری دارد، بررسی می کنیم.
بین ۱ تا ۱۰۰، عددی را در ذهن خود انتخاب کنید و از دوستتان بخواهید برای شناسایی عدد مورد نظر شما حداکثر ۲۰ سؤال مطرح کند و شما فقط جواب «آری» یا «خیر» بدهید. با این فرض که همه ی پاسخ ها درست باشند، در صورتی که دوست شما نتواند با ۲۰ سؤال، عدد انتخابی شما را
کشف کند، بازی را می بازد. یک نمونه مسابقه ی بیست سؤالی را بررسی می کنیم . سؤال ها و جواب ها در زیر آمده است.
آیا عدد شما ۱۳ است؟
خیر
آیا از ۵۰ بزرگ تر است ؟
بله
آیا ۶۲ است؟
خیر
آیا از ۷۵ بزرگ تر است ؟
بله
آیا عددی فرد است؟
خیر
آیا ۸۳ است؟
خیر
آیا از ۸۵ کوچک تر است ؟
بله
آیا از ۸۰ هم کوچک تر است؟
بله
آیا ۷۶ است ؟
خیر
عدد شما ۷۸ نیست؟
بله
کدام سوال ها با ارزش است؟ کدام سؤال بی ارزش است و موجب از دست رفتن فرصت می شود.
سؤال های »آیا عدد ۱۳ است؟» و «آیا ۶۲ است؟» سؤال هایی کم ارزش محسوب می شوند. و تنها حاصل آن ها این است که در می یابیم این دو عدد جزء حالت های نادرست هستند.
سؤال «آیا عدد از ۵۰ بزرگ تر است؟» سؤال بسیار عالی است، زیرا هر یک از جواب های «بله» یا «خیر» باعث می شود و ۵۰ عدد را به عنوان حالت های نادرست حذف کنیم. سؤال های «آیا از عدد ۷۵ بزرگ تر است؟ » و «آیا فرد است؟» سؤال هایی بسیار هوشمندانه هستند ولی سؤال «آیا عدد انتخابی ۸۳ است؟» سؤال خوبی نیست.
۸- روش های جبری و تشکیل معادله: مدل سازی بسیاری از مسئله ها با روش های جبری است. تشکیل معادله یا معادلات مسئله را به دنیای ریاضی برده و آن را به یک مسئله جبری (ریاضی) تبدیل می کند. این راهبرد بیش تر در سال های پایانی آموزش عمومی کاربرد وسیع دارد.
نتیجه:
در پایان با استفاده از این راهبردها و به کمک آن ها به حل مسائل می پردازیم. شاید این سؤال پیش آید که آیا هر مسئله ای از طریق یک راهبرد حاصل حل می شود، در پاسخ این سؤال به این نکته اشاره می کنیم که یکی از راه هایی که دانش آموز را به یک مسئله حل کن ماهر تبدیل می کند، این است که از طریق راهبردهای گوناگون به حل مسئله بپردازد. عامل دوم که موجب مهارت در حل مسئله می شود، دست به عمل زدن و حل کردن تعداد زیادی مسئله است بنابراین قبل از مطالعه ی راه حل مثال های مورد نظر و بررسی آن ها برای حل مسئله تلاش کند.
این کار بسیار سودمند است حتی اگر مسئله را درست حل نکنید.
بررسی و بحث در مورد راه حل ها عامل سومی است که دانش آموز را به مسئله حل کن ماهری تبدیل می کند. راه حل ها را برای دوستان و هم کلاسی ها خود توضیح دهید تا مورد نقد و سؤال قرار گیرید. سپس سعی کنید به سؤال ها پاسخ منطقی بدهید. احساس خود را نسبت به چگونگی راه حل ها بیان کنید و در مورد زیبایی آن ها قضاوت نمایید. راه حل های نادرست را کم اهمیت
مهمان عزیز شما قادر به مشاهده پیوندهای انجمن مانشت نمی‌باشید. جهت مشاهده پیوندها ثبت نام کنید.
