سلام
$1+P+P^2+P^3+.....=\frac{1}{1-P}$ به شرط $|P|<1$
اگر از طرفین نسبت به P مشتق بگیریم خواهیم داشت
$\frac{d}{dP}(1+P+P^2+P^3+P^4...)=\frac{d}{dP}(\frac{1}{1-P})\: \Longrightarrow\Longrightarrow1+2P+3P^2+4P^3...=\frac{1}{(1-P)^2}$
در خط یک به جای $(1+2P+3P^2+4P^3....)$ معادلش یعنی همان مشتق سری یعنی $d/dP(1+P+P^2+....)$ قرار داده است و در خط های بعدی هم از معادل های سمت چپ تساوی انها استفاده کرده است

پس در خط ۲ معادل خط ۱ رو نوشته ولی مشتق نگرفته
در خط ۳ جواب تصاعد هندسی رو نوشته
و در خط ۴ از اون عبارت مشتق گرفته