سلام
رابطه بازگشتی عدد کاتالان برابراست با $C_n=\sum^n_{k=1}C_{k-1}C_{n-k}$ در مجموع اگر از حدود یک واحد کم شود باید به اندیس در جلوی مجموع یک واحد اضافه شود وبرعکس حال اگر از حدود یک واحد کم کنیم داریم $C_n=\sum^{n-1}_{k=0}C_kC_{n-k-1}$ گاها به جای جمله nام جمله n+1 ام را میگیرند پس کافی است در رابطه اولیه به جای n مقدار n+1 قرار دهیم که داریم $C_{n+1}=\sum^{n+1}_{k=1}C_{k-1}C_{n+1-k}$ حال اگر دوباره از حدود یک واحد کم و به اندیس یک واحد اضافه داریم $C_{n+1}=\sum^n_{k=0}C_kC_{n-k}$ و البته $C_0=1$ و $C_1=1$ از بین رابطه های که شما نوشتید فقط $C_n=\sum^{n-1}_{k=1}C_kC_{n-k}$ درست نیست کافیه $C_2$ را محاسبه کنید که این رابطه مقدار ۱ می دهد در حالی که باید ۲ بشه.