سلام

چند روز پیش سوالی رو در همین قسمت انجمن راجع به یک مورد از یکی از تمرینات کتاب گریمالدی انتشارات فاطمی رو مطرح کردم و آقای جویباری لطف کردند و بنده رو راهنمایی کردند.

اما از اونجایی که این سوال به کلی در ترجمه انتشارات فاطمی تغییر پیدا کرده و به دلایل نامعلوم پاسخ بعضی موارد این تمرین در حل المسائل گریمالدی از همین انتشارات اشتباه است تصمیم گرفتم تا در این تاپیک با کمک دوستان تمام موارد این سوال رو بررسی کنیم تا هم برای بنده و هم برای کسانی که این کتاب رو مطالعه می کنند یا قصد دارند مطالعه کنند یک بار برای همیشه پاسخ های صحیح مشخص شوند تا دوستان دیگر مثل من سردرگم نشوند.

تمرین ۸ صفحه ۲۹ کتاب ریاضیات گسسته و ترکیبیاتی جلد ۱:
کیسه ای حاوی ۵۲ مهره از چهار رنگ سبز، زرد، قرمز و آبی وجود دارد. به چند طریق می توان از این ۵۲ مهره ۵ مهره انتخاب کرد به طوری که:

الف) هر ۵ مهره همرنگ باشند.
خب جواب این مورد که واضحه و در حل مسائل هم درست نوشته شده.
[tex]\binom{4}{1}\binom{13}{5}[/tex]

ب) شامل چهار مهره به شماره ۱ باشد.
این مورد هم در حل مسائل درست نوشته شده.
[tex]\binom{4}{4}\binom{48}{1}[/tex]

پ) شامل چهار مهره همرنگ باشد.
اولین مورد از سوال که در حل مسائل به شکل دیگه ای حل شده (انگار سوال خواسته شامل چهار مهره همشماره باشند)
این سوال رو به دو شکل میشه فهمید حالا من نمیدونم منظور کتاب چی بوده.
اول اینکه: فقط چهار مهره از پنج مهره می توانند همرنگ باشند و مهره پنجم نباید همرنگ با چهار مهره اول باشد که در این صورت جواب واضحه و به صورت [tex]\binom{4}{1}\binom{13}{4}\binom{39}{1}[/tex] است.

دوم اینکه: چهار مهره اول الزاما باید همرنگ باشند و مهره پنجم هم میتونه همرنگ با چهار مهره اول باشه و هم میتونه نباشه که در این صورت باید این دو حالت رو با هم حساب کنیم یعنی اول حالتی که مهره پنجم نمیتونه با چهار مهره اول همرنگ باشه که همونطور که گفته شد [tex]\binom{4}{1}\binom{13}{4}\binom{39}{1}[/tex] و حالت دوم حالتی که مهره پنجم بتونه با چهار مهره اول همرنگ باشه و هر پنج مهره رو از یک رنگ انتخاب کنیم که به [tex]\binom{4}{1}\binom{13}{5}[/tex] حالت امکان پذیره و طبق قاعده حاصل جمع جواب نهایی مجموع این دو حالت خواهد بود

ت) سه تا از این مهره ها به شماره ۱ و دوتا به شماره ۱۱ باشد.
این مورد هم درست در حل مسائل پاسخ داده شده و جواب به صورت زیر است:
[tex]\binom{4}{3}\binom{4}{2}[/tex]

ث) سه مهره به شماره ۱ و دو مهره همشماره داشته باشد.
این مورد هم درست در حل مسائل پاسخ داده شده:
[tex]\binom{4}{3}\binom{12}{1}\binom{4}{2}[/tex]

ج) سه مهره همرنگ و دو مهره همشماره داشته باشد.
اما این مورد هم به نظر میاد که جوابش در حل مسائل اشتباه باشه. در این مورد هم دو حالت پیش میاد که باید هر دو را حساب کنیم.
حالت اول: شماره دو مهره همشماره با شماره هیچ یک از سه مهره همرنگ برابر نباشد:
[tex]\binom{4}{1}\binom{13}{3}\binom{10}{1}\binom{4}{2}[/tex]

حالت دوم: شماره دو مهره همشماره با شماره یکی از سه مهره همرنگ برابر باشد:
[tex]\binom{4}{1}\binom{13}{3}\binom{3}{1}\binom{3}{2}[/tex]

چ) سه مهره همرنگ داشته باشد.
این مورد هم در حل مسائل اشتباه حل شده و حل این مورد هم مانند مورد پ می باشد که به صورت زیر است (با فرض اینکه دو مهره دیگر بتوانند همرنگ با سه مهره همرنگ اول باشند):
[tex]\binom{4}{1}\binom{13}{3}\binom{39}{2}+\binom{4}{1}\binom{13}{4}\binom{39}{1}+\b​inom{4}{1}\binom{13}{5}[/tex]

ح) دو جفت مهره هم شماره داشته باشد.
این مورد در حل مسائل درست حل شده است:
[tex]\binom{13}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2}\binom{44}{1}[/tex]

از تمامی دوستان و اساتید تقاضا دارم که اگر در موارد حل شده مشکلی می بینند در همین تاپیک مطرح کنند تا به کمک هم این سوال رو کامل و صحیح حل کنیم.

با تشکر