برای اینکه $U$ همسازه باشد باید: $U_{xx} U_{yy}=0$ باشد.
پس:
$U=x^3-axy^2\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: \: \: \: \: \: U_{xx} U_{yy}=0\: \: \: \: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: \: (6x) (-2ax)=0\: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: a=3\: \: \: \longrightarrow\: \: \: U=x^3-3xy^2$

پیدا کردن همساز $U$ یعنی $V$ :
باید شروط زیر را بررسی کنیم:
$\clubsuit\: \: \: first\: condition:\: \: \: \: U_x=V_y\: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: 3x^2-3y^2=V_y\: \: \: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: \: V=h(x) 3x^2y-y^3$
$\clubsuit\: \: \: \second\: condition:\: \: \: \: U_y=-V_x\: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: -6xy=-(h'(x) 6xy)\: \: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: \: h'(x)=0\: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: h(x)=C\: \: \: constant$

$\mapsto\: \: V=3x^2y-y^3 C$
$\mapsto\: \: f=U iV=(x^3-3xy^2) i(C 3x^2y-y^3)$

برای نوشتن تابع $f$ برحسب $z$ باید تغییرات زیر را اعمال کنیم:
$x\: \longrightarrow\: z\: ,\: y\: \longrightarrow\: 0\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \mapsto\: \: \: \: \: \: f(z)=z^3 C_1$