سلام.

هر عدد ۷ رقمی که با این ارقام ساخته بشه، اگه رقم اولش عدد ۵ یا بزرگ‌تر از ۵ باشه کل عدد ساخته شده بزرگ‌تر از ۵۰۰۰۰۰۰ میشه، در غیر این صورت عدد ساخته شده کوچک‌تر از ۵۰۰۰۰۰۰ میشه.

برای محاسبه‌ی تعداد حالت‌ها داریم (اول کار به تکراری‌ها توجه نمی‌کنیم):

برای رقم اول اعداد ۵، ۵، ۶ و ۷ رو می‌تونیم بذاریم. پس ۴ انتخاب داریم.
برای رقم دوم از ۴ عدد بالا ۳تا مونده، اعداد ۳، ۴ و ۴ هم از قبل موندن، پس میشه ۶ انتخاب.
برای رقم سوم به همین ترتیب ۵ انتخاب، رقم چهارم ۴ انتخاب و ... داریم.

پس کل حالت‌های ممکن (با فرض تکراری نبودن ارقام) میشه:
$4\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 4\times 6!$

حالا اگه دقت کنیم، دوتا ۵ می‌تونن با هم جابجا بشن و عددمون هیچ تفاوتی نکنه. پس تعداد حالت‌هایی که ساختیم به خاطر تکرار دوتا ۵ دو برابر مقدار واقعی هستش. همچنین برای دوتا ۴ هم همین موضوع صادقه. بنابراین مقدار به دست اومده‌ی بالا باید دو بار تقسیم بر ۲ بشه تا تعداد واقعی کل حالت‌ها به دست بیاد. پس برای کل تعداد حالت‌ها در مجموع داریم:
$\frac{4\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 }{2\times 2}=6!$