(۲۰ دى ۱۳۹۱ ۰۱:۳۸ ب.ظ)freaphea@emeil.in نوشته شده توسط:  سلام دوستان..
کسی میتونه تمرین زیر رو حل کنه؟؟

با استفاده از استقرا اثبات کنید اگر $Z=\left | Z \right |\left ( \cos \Theta i\sin \Theta \right )$ آنگاه:

$Z^{n}=\left | Z \right |^{n}\left ( \cos n\Theta i\sin n\Theta \right )$
$\left ( n> 0 \right )$
رابطه فوق به ازای $n< 0$ نیز برقرار است.

یه قضیه داریم که میگه:
$|Z_{1}.Z_{2}...Z_{n}|=|Z_{1}||Z_{2}|...|Z_{n}|$
و
$arg(Z_{1}.Z_{2}...Z_{n}) =argZ_{1} argZ_{2} ... argZ_{n}$


بنابر قضیه بالا میتونیم بگیم که اندازه زاویه ‌Z.Z میشه argZ+argZ و طول بردار Z.Z هم میشه |Z.Z| که میشه حاصلضرب طول بردار هرکدوم از zها. در نتیجه قضیه رو برای حالت n=2 ثابت میکنیم.
$Z^{^{2}}=Z.Z=|Z|^{2}(cos2\theta isin2\theta )$

برای n=3 هم به ترتیب بدست میاد قضیه رو برای حالت n=3 ثابت میکنیم.
$Z^{^{3}}=Z.Z.Z=|Z|^{3}(cos3\theta isin3\theta )$


بالاخره به استقرا ثابت میشه ‌

$Z^{^{n}}=Z.Z...Z=|Z|^{n}(cosn\theta isinn\theta )$