(۲۰ دى ۱۳۹۱ ۰۱:۳۸ ب.ظ)freaphea@emeil.in نوشته شده توسط:  سلام دوستان..
کسی میتونه تمرین زیر رو حل کنه؟؟

با استفاده از استقرا اثبات کنید اگر [tex]Z=\left | Z \right |\left ( \cos \Theta i\sin \Theta \right )[/tex] آنگاه:

[tex]Z^{n}=\left | Z \right |^{n}\left ( \cos n\Theta i\sin n\Theta \right )[/tex]
[tex]\left ( n> 0 \right )[/tex]
رابطه فوق به ازای [tex]n< 0[/tex] نیز برقرار است.

یه قضیه داریم که میگه:
[tex]|Z_{1}.Z_{2}...Z_{n}|=|Z_{1}||Z_{2}|...|Z_{n}|[/tex]
و
[tex]arg(Z_{1}.Z_{2}...Z_{n}) =argZ_{1} argZ_{2} ... argZ_{n}[/tex]


بنابر قضیه بالا میتونیم بگیم که اندازه زاویه ‌Z.Z میشه argZ+argZ و طول بردار Z.Z هم میشه |Z.Z| که میشه حاصلضرب طول بردار هرکدوم از zها. در نتیجه قضیه رو برای حالت n=2 ثابت میکنیم.
[tex]Z^{^{2}}=Z.Z=|Z|^{2}(cos2\theta isin2\theta )[/tex]

برای n=3 هم به ترتیب بدست میاد قضیه رو برای حالت n=3 ثابت میکنیم.
[tex]Z^{^{3}}=Z.Z.Z=|Z|^{3}(cos3\theta isin3\theta )[/tex]


بالاخره به استقرا ثابت میشه ‌

[tex]Z^{^{n}}=Z.Z...Z=|Z|^{n}(cosn\theta isinn\theta )[/tex]