ببینید ما وقتی معادله رو تفکیک می کنیم‌، یه حالتی بصورت $\frac{A{}''}{A} \frac{B{}''}{B}=k$ بوجود میاد.
خب حالا اگه بتونیم معادله ای بصورت ${u}'' \alpha ^{2}u=0$ رو ایجاد کنیم دارای معادله مشخصه ای به فرم $c_{1}sin\alpha x c_{2}cos\alpha x=0$ خواهد بود که از اینجا می تونیم به فرم و مدل معدله پی ببریم.
حالا کافیه بجای ثابت k در معدله بالا $-\lambda ^{2}$ رو بذاریم.
سوال: آیا میشه یه چیز دیگه بذاریم؟ و چرا حالا $-\lambda ^{2}$؟
$\lambda ^{2}$ رو میذاریم به این دلیل که در فرم معدله ما ${u}'' \alpha ^{2}u=0$ باید یه ثابت به توان دو داشته باشیم و منها رو میذریم چون وقتی اومد اون سمت به مثبت تبدیل شه.
امیدوارم منظورم رو متوجه شده باشید