هنگامی که در حکم یک استدلال، استلزامی موجود باشد (مثلا اینجا حکم ما q→p است)، می توان مقدمه ی آن استلزام را (در اینجا q) به عنوان یکی از مقدمه های استدلال در نظر گرفت و تنها حکم استلزام حکم (در اینجا p) را ثابت نمود. در نتیجه شکل استدلال به صورت زیر می شود :

$u\: \longrightarrow\: r,\: (r∧s)→(p∨w),q→(u∧s),\neg w,q\: \dashv\: p$

حالا راستگویی این استلزام را ثابت خواهیم کرد :

(۱) q --- مقدمه
(۲) q→u∧s --- مقدمه
(۳) u∧s --- بر اساس (۱) و (۲) و قانون قیاس استثنایی
(۴) u→r --- مقدمه
(۵) u --- بر اساس (۳) و قانون ساده سازی عطفی
(۶) r --- بر اساس (۴) و (۵) و قانون قیاس استثنایی
(۷) s --- بر اساس (۳) و قانون ساده سازی عطفی
(۸) r∧s --- بر اساس (۶) و (۷) و قاعده ترکیب عطفی
(۹) (r∧s)→(p∨w) --- مقدمه
(۱۰) p∨w --- بر اساس (۸) و (۹) و قانون قیاس استثنایی
(۱۱) $\neg w$ --- مقدمه
(۱۲) p --- بر اساس (۱۰) و (۱۱) و قاعده قیاس فصلی

سلام. یک راه دیگش برهان خلفه که به این شکله:
فرض کنید حکم مسئله نادرسته.
به دنبال یه مقدار برای متغیرها باشیم که تمام فرضیاتمون درست بشه. اگه تونستیم تمام جملات رو درست بدست بیاریم پس استدلال نادرسته. درغیر این صورت استدلال درسته.

فرض میکنیم $q\to p$ نادرسته. پس q درست و p نادرست میشه.
سعی میکنیم تمام فرضیات رو به درست نسبت بدیم:
نقیض w درسته. پس w نادرسته.
$q\to(u\wedge s)$ درسته. میدونیم q درسته. پس u و s درستن.
$u\to r$ درسته. پس r هم درسته.
$(r\wedge s)\to(p\vee w)$ درسته. با توجه به مقادیری که درنظر گرفتیم $r\wedge s$ درسته ولی $p\vee w$ نادرسته. پس کل عبارت نادرسته.
با توجه به اینکه یکی از جملات به نادرست رسید نتیجه میگیریم فرض اولیه ما غلط بوده و استدلالمون درسته.